দুহেজাৰ বছৰৰ মূৰত উত্তৰ ওলোৱা তিনিটা প্ৰশ্ন

[‘গণিত চ’ৰা’ আৰু কোনো কোনো ছপা আলোচনীত প্ৰকাশিত একে নামৰ এই প্ৰবন্ধটো এখন কিতাপত সন্নিৱিষ্ট কৰাৰ উদ্দেশ্য কিতাপখনৰ সৈতে মিলাকৈ শিৰোনাম আৰু আৰ্হিৰ সাল-সলনি কৰা হৈছে। কিতাপখনত সন্নিৱিষ্ট কৰা তলৰ ৰূপটো ইয়াত ৰখা হ’ল।]

অধ্যায় ২৯: যাক অংকন কৰিব পৰা নগ’ল

অংকনযোগ্যতা, দুহেজাৰ বছৰ, আৰু মূৰ্তত বিমূৰ্তৰ প্ৰৱেশ

যিটো প্ৰশ্ন কেতিয়াও স্কুলত নুসুধিলে আৰু নোসোধেও আগলৈও

স্কুলীয়া দিনলৈ মনত পেলাওক। আপুনিও এনেকুৱা প্ৰশ্ন পাইছে— ৰুলমাৰি আৰু কম্পাছৰ সহায়ত এডাল প্ৰদত্ত ৰেখাখণ্ডৰ একে দৈৰ্ঘ্যৰ আন এডাল ৰেখাখণ্ড অংকন কৰা। স্কুলীয়া পৰীক্ষাত এই প্ৰশ্ন বহুবাৰ আহিছে। ইউক্লিডীয় জ্যামিতি, অৰ্থাৎ সমতলীয় জ্যামিতিৰ মাথোঁ কেইটামান বৈশিষ্ট্য জানিলেই এই কাম কৰিব পাৰি আৰু অংকনৰ সত্যতাও প্ৰমাণ কৰিব পাৰি।

অংকনটো কৰিবলৈ, প্ৰদত্ত ৰেখাডালৰ যিকোনো এটা মূৰত কম্পাছডালৰ জোংটো লগাই লোৱা হ’ল। তেনেকৈ ধৰি থাকি ৰেখাডালৰ আনটো মূৰত কম্পাছডালৰ পেঞ্চিলৰ আগটো লগোৱা হ’ল। এইবাৰ আপুনি কম্পাছডালৰ এই জোখটো অকণো সলনি নকৰাকৈ তাৰ পৰা উঠাই নিলে, আৰু জোংটো সমতলখনৰ আন এক বিন্দুত ৰাখি এটা বৃত্তৰ চাপ আঁকি দিলে। এই বিন্দুটোৰ পৰা বৃত্তটোৰ চাপত থকা যিকোনো এটা বিন্দুলৈ এডাল লেখা টানিলেই প্ৰদত্ত ৰেখাডালৰ সমান দৈৰ্ঘ্যৰ ৰেখা এডাল পোৱা যাব।

ইয়াৰ কাৰণটো হ’ল একোটা বৃত্তৰ ব্যাসাৰ্ধবোৰৰ দৈৰ্ঘ্য সমান।

সেইদৰে এনেকুৱা প্ৰশ্নও বহুবাৰ আহিছেঃ

• ৰুলমাৰি আৰু কম্পাছৰ সহায়ত ৬০ ডিগ্ৰীৰ কোণ এটা অংকন কৰা।
• ৰুলমাৰি আৰু কম্পাছৰ সহায়ত প্ৰদত্ত কোণ এটা সমানে দুভাগ কৰা।

কিন্তু, এই প্ৰশ্ন আপুনি পাইছিল নে— ৰুলমাৰি আৰু কম্পাছৰ সহায়ত প্ৰদত্ত কোণ এটা সমানে তিনিভাগ কৰা। এই প্ৰশ্ন কেতিয়াও অহা নাই।

কিয়?

ৰুলমাৰি আৰু কম্পাছৰ সহায়ত অংকন মানে কি?

ৰুলমাৰিৰ অৰ্থটো হৈছে— স্কেলৰ দৰে দাগ নথকা এডাল পোন মাৰি, যাৰ সহায়ত যিকোনো সসীম দৈৰ্ঘ্যৰ সৰল ৰেখা আঁকিব পৰি। স্কেলৰ দৰে দাগ নথকা বাবে তাৰ সহায়ত ৰেখাবোৰৰ মাপ ল’ব পৰা নাযায়।

কম্পাছৰ সহায়ত যিকোনো সসীম ব্যাসাৰ্ধৰ বৃত্ত আঁকিব পৰা যায়। কথাখিনি বুজাৰ পাছত কোনো কোনো সময়ত গোটেই বৃত্ত এটা আঁকি নোলোৱাকৈ প্ৰয়োজন মতে কেৱল বৃত্তটোৰ চাপ আঁকিলেও হৈ যায়।

কেৱল ৰুলমাৰি আৰু কম্পাছৰ সহায়ত কিবা এটা অংকন কৰাৰ অৰ্থটো হৈছে— ইহঁতৰ সহায়ত সৰল ৰেখা আৰু বৃত্ত বা বৃত্তৰ চাপ অংকন কৰি বস্তুটো আঁকিব লাগিব। প্ৰয়োজন হ’লে বহুবাৰ সৰল ৰেখা বা বৃত্ত আঁকিব পৰা যাব, মাথোঁ কাৰ্যখিনি সসীম সংখ্যকবাৰ কৰিব লাগিব। অসীম কাল জুৰি অসীমবাৰ অঁকিয়েই আছোঁ বুলি ধৰি ল’লে নহ’ব।

অংকুৰণ

১৪ শতিকাৰ পৰা ১৭ শতিকা জুৰি ইউৰোপত যি নৱজাগৰণ সংঘটিত হৈছিল, তাৰে এজন মহান ৰূপান্তৰক আছিল ইটালীৰ চিত্ৰশিল্পী ৰাফাএল (Raphael)৷ তেওঁৰ শ্ৰেষ্ঠতম কৃতি হ’ল ‘The School of Athens’ শীৰ্ষক দেৱাল-চিত্ৰখন৷ য’ত তেওঁ প্লেটো, এৰিষ্ট’টল, ছক্ৰেটিছ, ইউক্লিড আদি কেইবাজনো প্ৰচীন গ্ৰীক জ্ঞান-সাধকৰ ছবি অংকন কৰিছিল৷ এইসকলে নিজকে কেন্দ্ৰ কৰি তাহানিৰ গ্ৰীচত গঢ়ি তোলা জ্ঞান-চৰ্চা-কেন্দ্ৰসমূহ হৈ উঠিছিল মানৱ সভ্যতা বিকাশৰ এটি এটি কেন্দ্ৰ৷ ৰাফাএলৰ চিত্ৰখনে যেন সেই গোটেই সভ্যতা বিকাশৰ খনিকৰসকলক একে স্থানলৈ তুলি আনি মানুহৰ চকুৰ আগত প্ৰদৰ্শন কৰিলে৷

প্লেটোৱেও প্ৰতিষ্ঠা কৰিছিল এনে এটি শিক্ষা-কেন্দ্ৰ৷ সেই শিক্ষা-কেন্দ্ৰলৈ প্ৰেৰণ কৰা এটা প্ৰশ্ন আছিল— এটা ঘণক যদি দিয়া হয়, তেন্তে কেৱল ৰুলমাৰি আৰু কম্পাছৰ সহায়ত তাৰ দুগুণ আয়তনৰ ঘণকটো আঁকিব পৰা যাব নে নাই? হয়, দাৰ্শনিক বুলি প্ৰধানকৈ জনাজাত প্লেটোৰ একাডেমীত এইবোৰ চৰ্চা হৈছিল৷ তাৰ উত্তৰ প্লেটো বা তেওঁৰ ছাত্ৰসকলে দিব নোৱাৰিলে৷ ৰুলমাৰি আৰু কম্পাছ লৈ এই ধৰণৰ কাম প্ৰাচীন গ্ৰীকসকলে কেইবা শতিকা ধৰি কৰি আছিল৷ কিছুমান অংকন সহজ, তেওঁলোকে পাৰিছিল৷ যেনে, কেৱল ৰুলমাৰি আৰু কম্পাছৰ সহায়ত যিকোনো এটা কোণ সমানে দুভাগ কৰিব তেওঁলোকে পাৰিছিল৷ কিন্তু, সমানে তিনিভাগ কৰিব তেওঁলোকে নোৱাৰিছিল৷ আৰু সেইবোৰ তেনেকৈ অংকন কৰিব পৰা যাব নে নাই সেইটোৰ উত্তৰো তেওঁলোকে পোৱা নাছিল৷ তাৰে তিনিটা প্ৰশ্নৰ উত্তৰ দুহেজাৰ বছৰ ধৰি পৃথিৱীৰ কোনেও দিব নোৱাৰিলে৷ আহি আহি ঊনৈছ শতিকাত এইবোৰৰ উত্তৰ ওলাল৷

দুহেজাৰ বছৰ সমাধান নোলোৱা সেই প্ৰশ্ন তিনিটা আছিল—

১) ৰুলমাৰি আৰু কম্পাছৰ সহায়ত এটা প্ৰদত্ত বৃত্তৰ সমান কালিৰ বৰ্গক্ষেত্ৰটো আঁকিব পাৰি নে নোৱাৰি? (এই কাৰ্যটোক চমুকৈ কোৱা হয়— বৃত্তৰ বৰ্গকৰণ।)

২) ৰুলমাৰি আৰু কম্পাছৰ সহায়ত এটা প্ৰদত্ত ঘণকৰ দুগুণ আয়তনৰ ঘণকটো আঁকিব পাৰি নে নোৱাৰি? (এই কাৰ্যটোক চমুকৈ কোৱা হয়— ঘণকৰ দুগুণকৰণ।)

৩) ৰুলমাৰি আৰু কম্পাছৰ সহায়ত যিকোনো এটা প্ৰদত্ত কোণৰ এক তৃতীয়াংশ জোখৰ কোণ এটা আঁকিব পাৰি নে নোৱাৰি? (এই কাৰ্যটোক চমুকৈ কোৱা হয়— কোণৰ ত্ৰিখণ্ডন।)

এয়া কিমান জটিল

এই অংকনসমূহ সম্ভৱ নহয় বুলি প্ৰমাণ কৰিবলৈ স্কুলীয়া পৰ্যায়তটো দিয়া নহয়েই, আনকি আমাৰ কিছুসংখ্যক বিশ্ববিদ্যালয়তহে এই সম্পৰ্কে পাঠদান হয়। বিষয়টো জটিল যদিও, আমোদজনক আৰু আশ্চৰ্যৰ কথাটো হ’ল— বিভিন্ন সময়ৰ যি কেইজনমান গণিতজ্ঞৰ বাবে এইসমূহৰ প্ৰমাণ ওলাল, তেওঁলোকৰ মাজৰ মূল এজনৰ মৃত্যু হৈছিল ২১ বছৰ নহওঁতেই (ইভাৰিষ্ট গেল্ওৱা), আন এজনে এটা অতি গুৰুত্বপূৰ্ণ প্ৰমাণ দিছিল ১৯ বছৰ বয়সত (কাৰ্ল ফ্ৰিডৰিখ গাউছ), আৰু আন এজনে ইয়াৰে দুটাৰ সম্পূৰ্ণ উত্তৰ দিয়াৰ লগতে আন ব্যাখ্যাও আগবঢ়াইছিল ২৩ বছৰ বয়সত (পিয়েৰ ৱাণ্টজেল)৷

অংকনযোগ্য সংখ্যা

একক দৈৰ্ঘ্য এটা দিয়া থাকিলে, যদি আন কোনো এটা দৈৰ্ঘ্যৰ এডাল ৰেখাখণ্ড কেৱল ৰুলমাৰি আৰু কম্পাছেৰে অংকন কৰিব পাৰি, তেন্তে সেই দৈৰ্ঘ্যটোক, অৰ্থাৎ সেই সংখ্যাটোক অংকনযোগ্য সংখ্যা (Constructible number) বোলা হয়। সেই সংখ্যাটোৰ ঋণাত্মক মানটোকো অংকনযোগ্য বোলা হয়।

একক দৈৰ্ঘ্য এটাৰ এটা মূৰৰ পৰা তাৰ সমান্তৰালকৈ আন এডাল একক দৈৰ্ঘ্যৰ ৰেখাখণ্ড অঁকিব পৰা যাব। দুয়োডাল মিলাই নতুন ৰেখাডালৰ দৈৰ্ঘ্য হ’ব ২। অৰ্থাৎ, ২ অংকনযোগ্য সংখ্যা। সেইদৰে, সকলো স্বাভাৱিক সংখ্যা আৰু সিহঁতৰ ঋণাত্মকবোৰ অংকনযোগ্য।

যদি $a$ আৰু $b$ দুটা অংকনযোগ্য সংখ্যা, তেন্তে $a+b$, $a-b$, $ab$, $a/b$ (এই ক্ষেত্ৰত $b$ অশূন্য) আৰু $\sqrt{a}$ অংকনযোগ্য। গতিকে, $\sqrt{b+\sqrt{a}}$ অংকনযোগ্য। এইদৰে বিবিধ অংকনযোগ্য সংখ্যা পোৱা যায়।

এয়া পুৰণি কালৰ কথা। তেতিয়াই মানুহে এইবিলাক অংকন কৰিবলৈ সক্ষম হৈছিল, কাৰণ ইয়াৰ বাবে ইউক্লিডৰ ‘এলিমেণ্টছ্’ৰ (খ্ৰীঃপূঃ ৩০০ মানতেই প্ৰকাশিত) কিছু কথাৰ বাহিৰে আন বিশেষ একো কথা নাজানিলেও হয়। সেয়েহে পুৰণি কালত, এটা বৰ্গৰ দুগুণ কালিৰ বৰ্গটো আঁকিব পাৰি বুলি মানুহে জানিছিল, আৰু তেওঁলোকে আঁকিব পাৰিছিলো। কাৰণ, প্ৰদত্ত বৰ্গটোৰ বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য $a$ হ’লে, তাৰ কালি হ’ব $a^২$, আৰু অংকন কৰিবলগীয়া বৰ্গটোৰ কালি হ’ব $২a^২$. অৰ্থাৎ, অংকন কৰিবলগীয়া বৰ্গটোৰ বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য $\sqrt{২a}$। প্ৰথম বৰ্গটো দিয়া আছে মানে $a$ টো দিয়া আছে। আৰু $\sqrt{২}$ হৈছে অংকনযোগ্য সংখ্যা। গতিকে $\sqrt{২a}$ ও অংকনযোগ্য। সেয়েহে $২a^২$ কালিৰ বৰ্গটোও আঁকিব পৰা যায়।

সোতৰ আৰু ঊনৈছ শতিকাত সৃষ্টি হোৱা দুখন অভিনৱ আৰু অসাধাৰণ সাঁকো

ইউক্লিডৰ ‘এলিমেণ্টছ্’ৰ সময়ৰ পৰা কেইবা শতিকা পাৰ হৈ যোৱাৰ পাছত ‘স্থানাংক জ্যামিতি’ বুলি এবিধ জ্যামিতি উদ্ভাৱন কৰা হ’ল। ইয়াৰ পূৰ্ণ বিকাশ সাধন হ’ল সোতৰ শতিকাৰ প্ৰথমভাগত। আৰু তেতিয়াই এই নতুন বিষয়টোত নিহিত থকা বিশেষ বিশেষ বৈশিষ্ট্য কিছুমান আৱিষ্কাৰ হ’বলৈ ধৰিলে। বীজগণিত, ত্ৰিকোণমিতি, ইউক্লিডীয় জ্যামিতি আদিও প্ৰয়োগ হৈছে ইয়াত।

স্থানাংক জ্যামিতিত ৰেখা, বৃত্ত আদি কিছুমান আকৃতি এটা সমীকৰণৰ সহায়ত পোৱা যায়। স্থানাংক জ্যামিতিত এখন সমতলত ৰেখাৰ সাধাৰণ সমীকৰণটো হ’ল $ax+by+c=০$, য’ত $a, b, c$ বাস্তৱ সংখ্যা আৰু $x, y$ চলক।

আৰু $(h, k)$ কেন্দ্ৰৰ $r$ ব্যাসাৰ্ধৰ বৃত্তটোৰ সমীকৰণটো হ’ল

$(x-h)^২+(y-k)^২-r^২=০.$

স্থানাংক জ্যামিতিত এটা বিন্দু অংকনযোগ্য হ’ব, যদিহে তাৰ স্থানাংক দুটা অংকনযোগ্য সংখ্যা।

ৰুলমাৰি আৰু কম্পাছেৰে অংকন কৰি থাকোঁতে আচলতে কৰি থকা হয় কি? কিছুমান নতুন নতুন অংকনযোগ্য বিন্দু তিনিটা ধৰণেৰে উলিয়াই থকা হয়:

      ১) দুডাল ৰেখাই কটাকটি কৰা বিন্দু উলিওৱা হয়,

      ২) ৰেখা এডালে বৃত্ত একোটাক কটাকটি কৰা বিন্দু উলিওৱা হয়,

আৰু ৩) দুটা বৃত্তই কটাকটি কৰা বিন্দু উলিওৱা হয়।

এই কটাকটি কৰা বিন্দুবোৰ সমীকৰণ সমাধান কৰি উলিয়াব পৰা যায়। তাৰবাবে,

• দুডাল ৰেখাৰ সমীকৰণ সমাধান কৰিব লাগিব; বা
• এডাল ৰেখা আৰু এটা বৃত্তৰ সমীকৰণ সমাধান কৰিব লাগিব; বা
• দুটা বৃত্তৰ সমীকৰণ সমাধান কৰিব লাগিব।

অৰ্থাৎ এই সমীকৰণ সমাধান কাৰ্যবোৰত, ওপৰত উল্লেখ কৰা দুবিধ সমীকৰণেই মাথোঁ জড়িত হৈ থাকে।

এই ধাৰণাখিনিয়ে এখন সাঁকো গঢ়ি তিনিওটা প্ৰশ্নক ইউক্লিডীয় জ্যামিতিৰ পৰা তুলি আনি স্থানাংক জ্যামিতি পোৱালেহি। এইখনেই হৈছে প্ৰথমখন সাঁকো।

কিন্তু সিহঁতৰ উত্তৰ বিচাৰিবলৈ ইয়াতো একো উপায় নাই। প্ৰশ্ন তিনিটাৰ উত্তৰ পাবলৈ ইয়াৰ পৰা একেকোবেই যাব লাগিব গণিতৰ আন এটি বিশেষ শাখালৈ। তাতেই আছে দ্বিতীয়খন সাঁকো। তাৰ বাবে আৰু দুশ বছৰ আগুৱাই আহিব লাগিব।

বিমূৰ্ত বীজগণিতৰ কচৰৎ

অখণ্ড সংখ্যাৰ সংহতিটো (যাক $ℤ$ ৰে বুজুৱা হয়) আৰু অখণ্ড সংখ্যাৰ যোগৰ প্ৰক্ৰিয়াটো যদি চোৱা হয়, তেন্তে

ক) তাৰ যিকোনো দুটা সংখ্যা (/মৌল) যোগ কৰিলে নতুন সংখ্যাটোও সংহতিটোতে থাকে।

খ) ইয়াৰ গোটেই সংখ্যাবোৰে যোগ প্ৰক্ৰিয়াৰ সাপেক্ষে সহযোগ বিধি মানি চলে।

গ) ইয়াত এটা নিৰ্দিষ্ট বিশেষ সংখ্যা আছে, ০, যাৰ লগত আন যিকোনো সংখ্যা এটা যোগ কৰিলেও যোগ কৰা সংখ্যাটোকে পোৱা যায়। সেই সংখ্যাটোক এই প্ৰক্ৰিয়াটোৰ সাপেক্ষে identity বুলি কোৱা হয়।

ঘ) প্ৰতিটো সংখ্যাৰ বাবে আন এটা সংখ্যা থাকে, যি দুটাক যোগ কৰিলে ০ টো, মানে সেই identity পোৱা যায়। যেনে: ৫ ৰ বাবে $-৫$ আছে, দুয়োটা যোগ কৰিলে ০। এই ক্ষেত্ৰত এটাক আনটোৰ যোগাত্মক বিপৰীত সংখ্যা বোলে।

এইটো এটা উদাহৰণ। সংহতিটো বা তাৰ লগত জড়িত প্ৰক্ৰিয়াটো বেলেগ বেলেগ হ’ব পাৰে। সংহতিটো বা প্ৰক্ৰিয়াটো যিয়েই নহওক, এই চাৰিটা বৈশিষ্ট্য মানি চলিলে সংহতিটোক সেই প্ৰক্ৰিয়াটোৰ সাপেক্ষে এটা সংঘ (group) বুলি কোৱা হয়। যদিহে সি ক্ৰম বিনিময় বিধিও মানি চলে, তেন্তে সংঘটোক আবেলীয় সংঘ (Abelian group) বোলে। গণিতজ্ঞ আবেলৰ নামেৰে ইয়াৰ নামকৰণ কৰা হৈছে। অখণ্ড সংখ্যাৰ সংহতিটো যোগৰ সাপেক্ষে এটা সংঘ, ইয়াক গাণিতিক ভাষাৰে কোৱা হয়: $(ℤ, +)$ এটা সংঘ। আৰু $(ℤ, +)$ হ’ল এটা আবেলীয় সংঘ।

কিন্তু, পূৰণৰ সাপেক্ষে $ℤ$ টো সংঘ নহয়। অৰ্থাৎ $(ℤ, .)$ সংঘ নহয়। কাৰণ, ইয়াত প্ৰতিটো সংখ্যাৰে বিপৰীতটো পোৱা নাযায়। পূৰণৰ সাপেক্ষে identity টো হ’ল ১। এতিয়া, উদাহৰণস্বৰূপে ৫ ৰ গুণাত্মক বিপৰীত সংখ্যাটো হ’ব $১/৫$, কিন্তু এইটো অখণ্ড সংখ্যা নহয়।

পৰিমেয় সংখ্যাৰ সংহতিটোক $ℚ$ ৰে বুজুৱা হয়। $(ℚ, +)$ এটা আবেলীয় সংঘ, আৰু $(ℚ-\{০\}, .)$ ও এটা আবেলীয়া সংঘ।

যদি $F$ এটা সংহতি, আৰু $(F, +)$ আৰু $(F-\{০\}, .)$ দুটায়ো আবেলীয় সংঘ হয়, তেন্তে এই প্ৰক্ৰিয়া দুটাৰ ক্ৰমিক সাপেক্ষে $F$ ক এটা ক্ষেত্ৰ (field) বুলি কোৱা হয়, যদিহে পূৰণে যোগৰ সাপেক্ষে বিতৰণ বিধি মানি চলে। গাণিতিক ভাষাৰে কোৱা হয় $(F, +, .)$ এটা ক্ষেত্ৰ। এইদৰে $(ℚ, +, .)$ এটা ক্ষেত্ৰ। কিন্তু $(ℤ, +, .)$ ক্ষেত্ৰ নহয়।

যদি $(E, +)$ এটা সংঘ আৰু $F$ হ’ল $E$ ৰ এটা অ-ৰিক্ত (non-empty) উপসংহতি, তেন্তে $(F, +)$ ও এটা সংঘ হ’লে তাক $E$ ৰ উপসংঘ বুলি কোৱা হয়। ক্ষেত্ৰৰ বাবে এইটোক কোৱা হয় উপক্ষেত্ৰ ।  গতিকে, $(ℤ, +)$ হ’ল $(ℚ, +)$ ৰ উপসংঘ। $(ℤ, .)$ টো $(ℚ, .)$ ৰ উপসংঘ নহয়। $(ℤ, +, .)$ টো $(ℚ, +, .)$ ৰ উপক্ষেত্ৰ নহয়।

$(F, +, .)$ টো $(E, +, .)$ ৰ উপক্ষেত্ৰ হ’লে, $E$ ক $F$ ৰ প্ৰসাৰিত ক্ষেত্ৰ (extension field) বুলি কোৱা হয়। প্ৰয়োজন হ’লে $F$ ক প্ৰসাৰিত ক্ষেত্ৰখনৰ আধাৰ বুলি কোৱা হয়। গাণিতিকভাৱে ইয়াক $E/F$ বুলি লিখা হয়।

‘প্ৰসাৰিত ক্ষেত্ৰ’ — এই বস্তুটোৱেই আমাক এতিয়া প্ৰয়োজন হ’ব। ই বিমূৰ্ত বীজগণিতৰ এটি ক্ষুদ্ৰ শাখা। কিন্তু ইয়াকো লৈ শ শ পৃষ্ঠা লিখা হৈছে, শ শ গৱেষণা-পত্ৰ ওলাইছে, এতিয়াও বিষয়টোৰ গভীৰৰ পৰা গভীৰলৈ বহু গণিতজ্ঞই অধ্যয়ন চলাই গৈ আছে।

প্ৰসাৰিত ক্ষেত্ৰসমূহৰ বিচিত্ৰ মৌলবোৰ

প্ৰসাৰিত ক্ষেত্ৰ কিছুমানৰ এটা বৈশিষ্ট্য হ’ল, তাৰ গোটেই মৌলবোৰ পোৱাত তাৰ আধাৰ ক্ষেত্ৰখনে বিশেষ ভূমিকা গ্ৰহণ কৰে। Vector space বুলি এটা বস্তু আছে, আৰু তাৰ মাত্ৰা বুলি এটা বস্তু আছে। তাত কোনোবা এবিধ প্ৰক্ৰিয়াৰ সাপেক্ষে এটা আবেলীয়া সংঘ থাকে, আৰু তাৰ মৌলবোৰৰ লগত এটা ক্ষেত্ৰৰ মৌলবোৰে আন এবিধ প্ৰক্ৰিয়াৰ সাপেক্ষে কেইটামান বিধি মানি চলে। $E$ যদি প্ৰসাৰিত ক্ষেত্ৰ হয়, তেন্তে সি এবিধ যোগৰ সাপেক্ষে আবেলীয় সংঘ হয়েই। আৰু $F$ টো $E$ ৰ উপক্ষেত্ৰ হোৱা বাবে, $F$ ৰ সাপেক্ষে $E$ টো এটা Vector space ত পৰিণত হয়। ইয়াৰ মাত্ৰাক $[E : F]$ ৰে বুজুৱা হয়। তেন্তে, $F$ ৰ মৌলবিলাকৰ লগতে $E$ ৰ মাথোঁ কেইটামান বিশেষ মৌলৰ সহায়ত $E$ ৰ গোটেই মৌলবিলাক গম পোৱা যায়। কেতিয়াবা আনকি $F$ ৰ মৌলবিলাকৰ লগত $E$ ৰ কেৱল এটা মৌল হ’লেই হ’ল। আৰু $E$ ৰ সেই বিশেষ মৌলটোক/মৌলকেইটাক এটা বহুপদ ৰাশিৰ সহায়ত পোৱাটো সম্ভৱ হ’ব পাৰে। আৰু সেই বহুপদ ৰাশিটোৰ সহগবোৰ $F$ তে থাকে। কথাবিলাক উদাহৰণেৰে চোৱা যাওক—

$(ℚ, +, .)$ টো এটা ক্ষেত্ৰ। ইয়াত গোটেই পৰিমেয় সংখ্যাবোৰ আছে। এটা বিশেষ অপৰিমেয় সংখ্যা হ’ল $\sqrt{২}$। অৰ্থাৎ, ই $ℚ$ ত নাই। আটাইতকৈ অধিক পৰিচিত অপৰিমেয় সংখ্যা দুটাৰ মাজত ইও এটা।

$ℚ$ আৰু $\sqrt{২}$ ৰ সহায়ত এক ধৰণৰ নতুন সংহতি এটা গঠন কৰা হ’ল: $ℚ(\sqrt{2}) = \{a+b\sqrt{2} : a, b\in ℚ\}$.

তেতিয়া $ℚ(\sqrt{2})$ টো $ℚ$ ৰ এটা প্ৰসাৰিত ক্ষেত্ৰ হ’ব আৰু $[ℚ(\sqrt{2}) : ℚ] = ২$। মাত্ৰা ২ হ’লে প্ৰসাৰণটোক দ্বিঘাত প্ৰসাৰণ বোলে।

আমি দেখিলোঁ যে, $ℚ(\sqrt{2})$ ৰ মৌলবোৰক $ℚ$ ৰ মৌলবোৰ আৰু $\sqrt{২}$ ৰ সহায়তে পোৱা গ’ল। আকৌ, $\sqrt{২}$ ক পোৱা যায় $x^২-২$ বহুপদ ৰাশিটোৰ মূল হিচাপে, যিটো বহুপদ ৰাশিৰ সহগবোৰ $ℚ$ তে আছে। এই বহুপদ ৰাশিটোৰ মাত্ৰাও ২।

একেদৰেই এইবাৰ $ℚ(\sqrt{2})$ ত থকা বহুপদ ৰাশিৰ সহায়ত $ℚ(\sqrt{2})$ ক প্ৰসাৰণ কৰিব পৰা যায়। সেই নতুনটোকো আকৌ প্ৰসাৰণ কৰিব পৰা যাব।

সাধাৰণভাৱে ক’বলৈ গ’লে, যদি $F$ ত নথকা কোনোবা এটা মৌলই $F$ ৰে এটা $n$ মাত্ৰাৰ বহুপদ ৰাশি সিদ্ধ কৰে, তেন্তে $F$ ৰ এটা প্ৰাসাৰিত ক্ষেত্ৰ $E$ পোৱা যাব, আৰু $[E : F] \le n$ হ’ব। আনহাতে, $F\subseteq E\subseteq D$ তিনিটা ক্ষেত্ৰ হ’লে, $[D : F] =  [D : E] [E : F]$.

পুনৰ ৰুলমাৰি আৰু কম্পাছৰ কাহিনী আৰু দ্বিতীয় সাঁকোখন

ৰুলমাৰি আৰু কম্পাছৰ সহায়ত অংকন কৰোঁতে, অৰ্থাৎ দুটা সমীকৰণ সমাধান কৰোঁতে এনেকুৱা এটা বহুপদ ৰাশিৰ মূল উলিওৱা হয় যাৰ মাত্ৰা অতি বেছি ২ হ’ব পাৰে। গতিকে সেই মূলখিনি ক্ষেত্ৰ এটাৰ প্ৰসাৰণ এটাত থাকিব যাৰ মাত্ৰা অতি বেছি ২ হ’ব। গতিকে, এলানি অংকন সম্পূৰ্ণ কৰা মানে এটাৰ পাছত এটাকৈ প্ৰসাৰিত ক্ষেত্ৰ পাই গৈ থকা বুজাব, আৰু প্ৰত্যেকবাৰেই মাত্ৰা হ’ব অতি বেছি ২। অৰ্থাৎ এটা অংকন সম্পূৰ্ণ কৰাৰ পাছত সৰ্বশেষ যিটো প্ৰসাৰিত ক্ষেত্ৰ পোৱা যাব, আধাৰ ক্ষেত্ৰখনৰ ভিত্তিত তাৰ মাত্ৰা হ’ব $২^n$, য’ত $n$ কোনোবা এটা সসীম স্বাভাৱিক সংখ্যা।

এনেকৈয়ে তিনিওটা প্ৰশ্ন আহি বিমূৰ্ত বীজগণিতত প্ৰৱেশ কৰিলে— ৰুলমাৰি আৰু কম্পাছ লৈ সমতলত জ্যামিতি অংকন কৰি থকা কামটোৰ লগত যিটো বিষয়ৰ পোনপটীয়া কোনো সম্পৰ্কই নাছিল।

আৰু বহুতো বৈশিষ্ট্য ইয়াত প্ৰয়োগ হ’ব। কোনোবা এটা সংখ্যাই যদি ১ মাত্ৰাৰ বহুপদ ৰাশি (যিটোক ৰৈখিক ৰাশি বুলি কোৱা হয়) এটা সিদ্ধ কৰে, তেন্তে বহুপদ ৰাশিটো যিটো ক্ষেত্ৰত আছে সংখ্যাটোও সেইটো ক্ষেত্ৰতে থাকিব লাগিব। যিকোনো এটা $n$ মাত্ৰাৰ বহুপদ ৰাশিক $n$ টা ৰৈখিক ৰাশিৰ গুণফল ৰূপে ভাঙি প্ৰকাশ কৰিব পাৰি। কিন্তু সেই প্ৰতিটো ৰৈখিক ৰাশিৰ বাবে প্ৰসাৰিত ক্ষেত্ৰটো বেলেগ বেলেগ হ’ব পাৰে। তাৰমানে কিছুমান বহুপদ ৰাশি আধাৰ ক্ষেত্ৰটোতে ৰৈখিক ৰাশিৰ গুণফল ৰূপে ভাঙিব নোৱাৰি। বা আধাৰ ক্ষেত্ৰটোত সেই বহুপদ ৰাশিটোক কোনো ধৰণেৰে ভাঙিবই নোৱাৰি। যেনেকৈ:$x^২-৪$ ক ℚ ত ভাঙিব পাৰি, কিন্তু $x^২-২$ আৰু $x^৩-২$ ক নোৱাৰি। $x^২-২$ ক $ℚ(\sqrt{2})$ ত ভাঙিব পাৰি, কিন্তু $x^৩-২$ ক তাতো নোৱাৰি। আচলতে, $x^৩-২$ ক ৰৈখিক ৰাশিৰ গুণফল ৰূপে ভাঙিব পৰা প্ৰসাৰিত ক্ষেত্ৰবোৰত জটিল সংখ্যাও যুক্ত হৈ আছে, আৰু $x^৩-২$ ৰ বাবে তেনেকুৱা এটা ক্ষেত্ৰৰ ন্যূনতম মাত্ৰা ৬। যদিহে কোনো সংখ্যাই আধাৰ ক্ষেত্ৰটোত সিদ্ধ কৰা $n$ মাত্ৰাৰ বহুপদ ৰাশি এটাক আধাৰ ক্ষেত্ৰটোতে ভাঙিব নোৱাৰি, তেন্তে সেই সংখ্যাটো $n$ মাত্ৰাৰ প্ৰসাৰিত ক্ষেত্ৰ এটাত থাকে।

প্ৰশ্ন তিনিটা আন গাণিতিক ভাষালৈ ৰূপান্তৰ

এতিয়া তিনিওটা প্ৰশ্ন বীজগণিতীয় ভাষালৈ লৈ যাব পাৰি আৰু একেবাৰে সৰল ৰূপ এটা উলিয়াই ল’ব পাৰি:

১) সাধাৰণ বৃত্ত এটাৰ কালি $\pi r^২$. এই $r$ টো অংকনযোগ্য হ’ব পাৰে, সেয়েহে ইয়াক ১ বুলি ধৰি লওঁ। গতিকে বৃত্তটোৰ কালি হ’ল $\pi$. তেতিয়া আঁকিবলগীয়া বৰ্গটোৰো কালি $\pi$ হ’ব। যদি $\sqrt{\pi}$ অংকনযোগ্য, তেন্তে বৰ্গটোৰ বাহুবোৰ পাম। আকৌ, $\sqrt{\pi}$ অংকনযোগ্য হ’ব যদিহে $\pi$ অংকনযোগ্য। সেয়েহে প্ৰশ্নটো হ’লগৈঃ $\pi$ অংকনযোগ্য হয় নে নহয়? (বৃত্তৰ বৰ্গকৰণ।)

২) সাধাৰণ ঘণক এটাৰ আয়তন $a^৩$. ইয়াৰ দুগুণটো $২a^৩$. গতিকে নতুন ঘণকটোৰ বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য $\sqrt[৩]{২a}$. এই $a$ টো অংকনযোগ্য হ’ব পাৰে, সেয়েহে ইয়াক ১ বুলি ধৰি লওঁ। তেতিয়া আঁকিবলগীয়া ঘণকটোৰ বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য হ’ব $\sqrt[৩]{২}$. সেয়েহে প্ৰশ্নটো হ’লগৈঃ $\sqrt[৩]{২}$ অংকনযোগ্য হয় নে নহয়? (ঘণকৰ দুগুণকৰণ।)

৩) আমাৰ লগত একক দৈৰ্ঘ্য এটা সদায় আছে। যদি এটা কোণ $\theta$ অংকনযোগ্য, তেতিয়া কোণটোৰ এটা বাহুত এটা অংকনযোগ্য বিন্দু লৈ দৈৰ্ঘ্যটো ভূমি বুলি ধৰিব পাৰি। এনেদৰে কোণটোৰ বাবে ভূমি, লম্ব আৰু অতিভুজ পাব পাৰি। সিহঁতৰ অনুপাতবোৰো অংকনযোগ্য হ’ব। গতিকে $\theta$ অংকনযোগ্য হ’লে $\cos\theta$, $\sin\theta$, $\tan\theta$ অংকনযোগ্য। ইয়াৰ ওলোটাটোও শুদ্ধ। গতিকে, কোনোবা এটা প্ৰদত্ত কোণ $\theta$ ৰ বাবে $\theta/৩$ অংকনযোগ্য হ’বলৈ $\cos(\theta/৩)$ অংকনযোগ্য হ’ব লাগিব। সেয়েহে প্ৰশ্নটো হ’লগৈঃ যিকোনো কোণ $\theta$ ৰ বাবে $\cos(\theta/৩)$ অংকনযোগ্য হয় নে নহয়? (কোণৰ ত্ৰিখণ্ডন।)

এতিয়া উত্তৰ দিয়াৰ সময়

যিহেতু $(ℚ, +, .)$ ৰ সকলো সংখ্যাই অংকনযোগ্য, গতিকে এইটো এতিয়া স্পষ্ট যে— অংকনযোগ্য নতুন সংখ্যা এটা উলিয়ালে সি $ℚ$ ৰ প্ৰসাৰিত ক্ষেত্ৰ এখনত থাকিবই লাগিব, আৰু প্ৰসাৰিত ক্ষেত্ৰখনৰ মাত্ৰাটো বিশেষ আৰ্হিটোত পাব লাগিব। সেই আৰ্হিটোত $\pi$, $\sqrt[৩]{২}$ আৰু $\cos(\theta/৩)$ থাকিব নে নাথাকে বা সিহঁত $ℚ$ ৰ প্ৰসাৰিত ক্ষেত্ৰ এখনত থাকিব নে নাথাকে তাৰ ভিত্তিতে প্ৰশ্ন তিনিটাৰ উত্তৰ ওলাই পৰিল। ১৮৩৭ চনত প্ৰকাশিত এখন গৱেষণা-পত্ৰৰে পিয়েৰ ৱাণ্টজেল নামৰ ফৰাচী গণিতজ্ঞজনে ঘণকৰ দুগুণকৰণ আৰু কোণৰ ত্ৰিখণ্ডন অসম্ভৱ বুলি প্ৰমাণ কৰিলে।

$\sqrt[৩]{২}$ য়ে $x^৩-২$ ক সিদ্ধ কৰে। এই বহুপদ ৰাশিটো $ℚ$ তে আছে, কিন্তু ইয়াক $ℚ$ ত ৰৈখিক ৰাশিৰ গুণফল ৰূপে ভাঙিব নোৱাৰি। অকণমানি প্ৰমাণ এটাৰে নোৱাৰি বুলি দেখুৱাব পাৰিব। এইটো এতিয়া গণিতৰ স্নাতক-স্নাতকোত্তৰ শ্ৰেণীত বহুতে কৰে। গতিকে $\sqrt[৩]{২}$ টো ৩ মাত্ৰাৰ প্ৰসাৰণ ক্ষেত্ৰ এটাত থাকিব। ৩ টোক ২ বা ২ ৰ ঘাতৰ পূৰণফল ৰূপে প্ৰকাশ কৰিব নোৱাৰি। গতিকে, $\sqrt[৩]{২}$ অংকনযোগ্য নহয়। সেয়েহে ঘণকৰ দুগুণকৰণ অসম্ভৱ।

কিছুমান কোণক সমানে তিনিভাগ কৰিব পাৰি। যেনে: ৯০ ডিগ্ৰী কোণ, ১৮০ ডিগ্ৰী কোণ। ৯০ ডিগ্ৰী কোণৰ এটা বাহুৰ পৰা ৬০ ডিগ্ৰী কোণ এটা অংকন কৰিলেই ৩০ ডিগ্ৰী কোণটো ওলাই পৰিব। কিন্তু অধিক সংখ্যাক কোণক নোৱাৰি। নোৱাৰি বুলি প্ৰমাণ কৰিবলৈ এটা উদাহৰণ ওলালেও যথেষ্ট। আৰু ৱাণ্টজেলে ৬০ ডিগ্ৰী কোণটোক নোৱাৰি বুলি প্ৰমাণ কৰিলে।

$\qquad \cos৩\theta = ৪\cos^৩\theta-৩\cos\theta$

$\Rightarrow \cos৬০ = ৪\cos^৩২০-৩\cos২০$

$\Rightarrow \quad ১/২ = ৪\cos^৩২০-৩\cos২০$

$\Rightarrow ৮\cos^৩২০-৬\cos২০-১=০$

$\Rightarrow (২\cos২০)^৩-৩\cdot২\cos২০-১=০$

অৰ্থাৎ $২\cos২০$ য়ে  বহুপদ ৰাশিটো সিদ্ধ কৰে, যিটো বহুপদ ৰাশি $ℚ$ ত আছে। ইয়াত $\cos২০$ ৰ সলনি $২\cos২০$ হোৱা বাবে কোনো সমস্যা নহয়, কাৰণ ২ টো অংকনযোগ্য।

এই বহুপদ ৰাশিটো $ℚ$ ত ভাঙিব নোৱাৰি। সেয়েহে $২\cos২০$ টো $ℚ$ ৰ এটা প্ৰসাৰিত ক্ষেত্ৰত থাকিব, যাৰ মাত্ৰা ৩। গতিকে $২\cos২০$ অংকনযোগ্য নহয়। আৰু ফলত $\cos২০$ ও অংকনযোগ্য নহয়। গতিকে কোণৰ ত্ৰিখণ্ডন অসম্ভৱ বুলি প্ৰমাণিত। অৱশ্যে, ৱাণ্টজেলে আজিৰ পৰা প্ৰায় দুশ বছৰ আগতেই লিখা যুক্তিখিনিৰ গাণিতিক ভাষা আজি আমি পঢ়া বা লিখা ভাষাতকৈ অলপ বেলেগ।

এই দুটা প্ৰমাণ হ’ল যদিও বৃত্তৰ বৰ্গকৰণ সম্ভৱ নে অসম্ভৱ সেইটো প্ৰমাণ নোহোৱাকৈ আৰু প্ৰায় ৪৫ বছৰ থাকিল। ১৮৮২ চনত ফাৰ্ডিনাণ্ড ভন লিণ্ডামেন নামৰ এজন গণিতজ্ঞই $\pi$ য়ে $ℚ$ ৰ কোনো বহুপদ ৰাশিক সিদ্ধ নকৰে বুলি প্ৰমাণ কৰিলে। এইটো আছিল আনধৰণে উদ্ভৱ হোৱা এটা পুৰণি সমস্যা। এইটো প্ৰমাণ হোৱাৰ লগে লগে বৃত্তৰ বৰ্গকৰণ অসম্ভৱ বুলি প্ৰমাণ হৈ পৰিল। কাৰণ, ইয়াৰ দ্বাৰা প্ৰমাণ হ’ল যে $\pi$ টো $ℚ$ ৰ এনেকুৱা এখন প্ৰসাৰিত ক্ষেত্ৰত আছে, যাৰ মাত্ৰা সসীমেই নহয়।

আন আন প্ৰশ্নৰ উত্তৰবোৰ

সুষম পঞ্চভুজ, সুষম ষড়ভুজ আদি আঁকিব পাৰি। কিন্তু সুষম সপ্তভুজ নোৱাৰি। $n$ টো $২^k$ আৰ্হিত থাকিলে $n$ বাহুযুক্ত সুষম বহুভুজবোৰ অংকনযোগ্য বুলি অতীজতে পোৱা গৈছিল। আন দুই-এটা আৰ্হিৰ বাবেও পোৱা গৈছিল। কিন্তু সাধাৰণভাৱে কোনবোৰ পাৰি আৰু কোনবোৰ নোৱাৰি তাক জানিবলৈও মানুহে কেইবা শতিকা যুঁজি থাকিব লগা হৈছিল।

ৱাণ্টজেলৰ গৱেষণা-পত্ৰখন প্ৰকাশৰ প্ৰায় ৪০ বছৰ পূৰ্বে গাউছে ১৭ টা বাহুযুক্ত সুষম বহুভুজ আঁকিব পাৰি বুলি প্ৰমাণ কৰিছিল। তাৰে কেইবছৰমান পাছত গাউছে এটা চৰ্তও আৱিষ্কাৰ কৰিছিল, যিটো মানি চলা সুষম বহুভুজবোৰ অংকনযোগ্য হয়। তেওঁ সেইটো প্ৰমাণ কৰিলে। কিন্তু সেই চৰ্তটো লাগিবই নেকি সেইটো প্ৰমাণ তেওঁ নিদিলে বা দিব নোৱাৰিলে। কথাটো এনেকুৱা— সংখ্যা এটাৰ এককৰ ঘৰৰ অংকটো ৪ ৰে হৰণ গ’লে সংখ্যাটো যুগ্ম হ’বই। কিন্তু অংকটো ৪ ৰে হৰণ যাব লাগিবই নেকি? ৪ ৰে হৰণ নগ’লেও হ’ব, কিন্তু ২ ৰে হৰণ যাব লাগিবই।

ৱাণ্টজেলে সেই একেখন গৱেষণা-পত্ৰতে সেই চৰ্তটো লাগিবই বুলি প্ৰমাণ কৰিলে। প্ৰমাণটো এতিয়া তিনিটামান পেৰাগ্ৰাফত লিখিব পাৰি, কিন্তু সেইটো বুজিবলৈ প্ৰসাৰিত ক্ষেত্ৰ কিছুমানৰ বৈশিষ্ট্যবোৰ তৰপে তৰপে গভীৰলৈ আয়ত্ব কৰি ল’ব লাগিব। ওপৰত সংঘৰ কথা কোৱা হৈছিল। গেল্ওৱাক সংঘ-তত্ত্বৰ জনক বুলি কোৱা হয়। গেল্ওৱাই সংঘ-তত্ত্ব আৰু ক্ষেত্ৰ-তত্ত্বৰ মাজত এটি সংযোগ আৱিষ্কাৰ কৰিলে। সেইখিনিৰ সহায়ত কিছুমান ক্ষেত্ৰ তথা প্ৰসাৰিত ক্ষেত্ৰক বহু গভীৰলৈকে আয়ত্ব কৰাটো সম্ভৱ হৈ পৰিল। ৱাণ্টজেলে সেইখিনি প্ৰয়োগ কৰিলে। ক্ষেত্ৰ-তত্ত্বৰ নতুন পাঠকে সেইখিনি আয়ত্ব কৰিবলৈ কমেও এই লেখাটোৰ দুগুণ দৈৰ্ঘ্যৰ কথা ব্যাখ্যা কৰিব লাগিব। সেয়েহে কেৱল চৰ্তটো উল্লেখ কৰি থওঁ—

$n$ টা বাহুযুক্ত সুষম বহুভুজ এটা অংকনযোগ্য হ’ব যদি আৰু মাত্ৰ যদিহে $n$ টো তলত দিয়া আৰ্হিটোত থাকে—

$n=২^kp_১p_২\cdots p_m,$

য’ত, $p_১, p_২, \ldots, p_m$ হ’ল $m$ টা পৃথক পৃথক ফাৰ্মা মৌলিক সংখ্যা, আৰু $k$ এটা অঋণাত্মক অখণ্ড সংখ্যা।

ফাৰ্মা মৌলিক সংখ্যাবোৰ $২^{২^a}+১$ আৰ্হিত থাকে, য’ত $a$ অঋণাত্মক অখণ্ড সংখ্যা। এতিয়ালৈকে পাঁচটা ফাৰ্মা মৌলিক সংখ্যা পোৱা গৈছে। সেইকেইটা হ’ল ৩, ৫, ১৭, ২৫৭ আৰু ৬৫৫৩৭। ওপৰৰ $k$ টো শূন্য হ’লে $n$ টো অযুগ্ম হ’ব। পাঁচটা ফাৰ্মা মৌলিক সংখ্যাৰে ৩১ টা অযুগ্ম $n$ পোৱা যাব। সেয়েহে, অযুগ্ম সংখ্যক বাহুযুক্ত অংকনযোগ্য সুষম বহুভুজ এতিয়ালৈকে কেৱল ৩১ টা পোৱা গৈছে। (আৰু যুগ্ম বাহুযুক্ত অসীম আছে।) ৭ টো ফাৰ্মা মৌলিক নহয় বাবে সুষম সপ্তভুজ অংকনযোগ্য নহয়।

আন কিছুমান প্ৰশ্ন হ’ল— কেনেকুৱা ধৰণৰ কোণৰ ত্ৰিখণ্ডন সম্ভৱ? কোনবিলাক কোণ অংকনযোগ্য? কোণ একোটাক সমানে আৰু অধিক কেইটা ভাগ কৰিব পাৰি? সেইবোৰৰ চৰ্তবোৰ কেনেকুৱা হ’ব? এইবোৰৰ কিছুমানৰ উত্তৰ পোৱা গৈছে।

আন এক জটিলতা

কিবা এটা অংকনযোগ্য হয় নে নহয় সেইটোহে ক্ষেত্ৰ-তত্ত্বই প্ৰমাণ কৰে৷ অংকনযোগ্য বুলি জনাৰ পাছতো কিবা এটা অংকন কৰিবলৈ এটা সাধাৰণ আৰ্হি নাই, বা এতিয়ালৈকে ওলোৱা নাই৷ যেনে ১৭ টা বাহুযুক্ত সুষম বহুভুজ অঁকাটোও ওপৰত দিয়া অংকনবোৰৰ তুলনাত সামান্য জটিল। ৬৫৫৩৭ টা বাহুযুক্ত এটা সুষম বহুভুজ অঁকাৰ এটা পদ্ধতি জাৰ্মান গণিতজ্ঞ এজনে দহ বছৰ লাগি ১৮৯৪ চনত উলিয়াইছিল৷ যিটো বৰ্ণনা দিবলৈ তেওঁক প্ৰায় দুশ পৃষ্ঠা লাগিছিল৷ ২৫৭ টা বাহুযুক্ত সুষম বহুভুজ অঁকাৰ তিনিটা পদ্ধতি এতিয়ালৈকে ওলাইছে। ৪২৯৪৯৬৭২৯৫ টা বাহুযুক্ত সুষম বহুভুজ অঁকাৰ কোনো পদ্ধতি এতিয়াও নাই।

এটা সামৰণি চিন্তা

ছাৰ এন্দ্ৰু ৱাইলছে ‘ফাৰ্মাৰ অন্তিম উপপাদ্য’টো প্ৰমাণ কৰিবলৈ চেষ্টা কৰি থকাৰ সময়ত এনে এক ধাৰণা মনলৈ আহিছিল যে— তেওঁ প্ৰমাণটো হোৱাৰ সঠিক দিশতেই আগবাঢ়ি আছে, কিন্তু তেওঁ ভুল শতিকাত জন্ম গ্ৰহণ কৰিছে। অৰ্থাৎ, তেওঁ ভাবিছিল যে কেইবা শতিকা ধৰি প্ৰমাণ নোহোৱা উপপাদ্যটো প্ৰমাণটো কৰিবলৈ যিবোৰ গাণিতিক সঁজুলি লাগিব, সেইবোৰ তেতিয়াও কিজানি আৱিষ্কাৰ বা উদ্ভাৱন হোৱাই নাই।

গণিতৰ বিকাশ এনেদৰেও হয়। এটা এটা সৰু প্ৰশ্নৰ উত্তৰ দিবলৈও কেইবা শতিকা লাগি যাব পাৰে। এতিয়া আৱিষ্কৃত কিছুমান বস্তুও ভৱিষ্যতৰ ঘৰৰ গণিতজ্ঞৰ হাতত পৰালৈ ৰৈ আছে। সেইবোৰৰ সৈতে তেতিয়া নতুনকৈ আৱিষ্কৃত কিছুমান বস্তুৰ আচৰিত সংযোগ ঘটিব পাৰে, আৰু আজি আমি কল্পনা কৰিব নোৱৰা উত্তৰ কিছুমান তেতিয়া সহজেই ওলাই যাব পাৰে।