টোকাবহী (গণিত) : ১ – ১০

(১)

এটা খুৱ সুন্দৰ বাক্য পঢ়িবলৈ পালোঁ— “ঋণাত্মক সংখ্যাবোৰে সংখ্যাৰ সমাজখনত অন্তৰ্ভুক্ত হোৱাৰ দুটা শতিকাৰো অধিক দিনৰ পূৰ্বেই কলম্বাছে আমেৰিকা আৱিষ্কাৰ কৰিছিল৷ সিহঁতে উনৈশ শতিকাৰ মাজভাগলৈকে— প্ৰায়, আমেৰিকাৰ চিভিল ওৱাৰৰ সময়লৈকে প্ৰথম শ্ৰেণীৰ নাগৰিক হিচাপে বিবেচিত হোৱাই নাছিল৷”

তেন্তে কেনেকৈ সিহঁতে প্ৰথম শ্ৰেণীৰ নাগৰিকৰ শাৰীত (অৰ্থাৎ ধণাত্মক সংখ্যাবোৰৰ আৰু ইতিমধ্যে সেই শাৰীত স্থান পোৱা শূন্যটোৰ লগত) শাৰী পুৰাবলৈ অধিকাৰ পালে?

মোৰ বয়স ৭ বছৰ, ভন্তীৰ দুবছৰ৷ ধৰক মনলৈ প্ৰশ্ন আহিল— কেতিয়া মোৰ বয়স ভন্তীৰ বয়সৰ দুগুণ হ’ব?

গতিকে যদি $x$ বছৰৰ পাছত মোৰ বয়স ভন্তীৰ বয়সৰ দুগুণ হ’ব, তেন্তে সমীকৰণটো হ’ব

$৭+x = ২(২+x)$.

তাৰমানে $x=৩$।

মানে, তিনি বছৰৰ পাছত মোৰ বয়স ভন্তীৰ বয়সৰ দুগুণ হ’ব৷ প্ৰমাণ কৰি চাওক— তিনি বছৰৰ পাছত মোৰ বয়স হ’ব ১০ বছৰ, ভন্তীৰ হ’ব ৫ বছৰ৷ গতিকে প্ৰমাণ হৈ গ’ল!

তেনেকৈয়ে, ধৰক ১৮ বছৰীয়া মানুহ এজনৰো একেই চিন্তা মনলৈ আহিল বা এইটো হিচাপ কৰাৰ দৰকাৰ হ’ল। আৰু তেওঁৰ ভনীয়েকৰ বয়স ১১ বছৰ৷ প্ৰশ্নটো হ’ল— কেই বছৰৰ পাছত তেওঁৰ বয়স ভনীয়েকৰ দুগুণ হ’ব?

তেওঁৰ সমীকৰণটো হ’ব—

$১৮+x = ২(১১+x)$.

গতিকে $x=১৮-২২$।

এতিয়া প্ৰশ্ন আহিল— এইটো আকৌ কেনেকৈ সম্ভৱ?

এই ধৰণৰ সমীকৰণবোৰেই হেনো পূৰ্বৰ সংখ্যাৰ সমাজখনলৈ ঋণাত্মক সংখ্যাক লৈ আহিল, আৰু নিজৰ প্ৰয়োজনীয়তা বা চাহিদাক বজাই ৰাখিব পৰা বাবে লাহে লাহে সিহঁতো কোনো সংগ্ৰাম নকৰাকৈ সংখ্যাৰ সমাজখনত প্ৰথম শ্ৰেণী নাগৰিকত পৰিণত হ’ল, উনৈশ শতিকাৰ মাজভাগমানত৷

[বাৰু যি হওক, ১৮ বছৰীয়া মানুহজনৰ উত্তৰটো কি হ‘ব?]

(২)

“মই ভাবোঁ, মোৰ প্ৰজন্মটোৱে এনে এটা বাৰ্তাৰ এক ৰকমৰ অপ্ৰভাৱত বাস কৰিছে যে— ‘হয়, যদি তুমি এজন গণিতজ্ঞ হোৱা তেন্তে তুমি কেৱল মাথোঁ গণিত কৰি থকাই উচিত। তুমি ইয়াক জনপ্ৰিয় কৰিবলৈ বা বিস্তাৰ কৰিবলৈ যত্ন কৰি থকা অনুচিত।’ গতিকে মই ভাবোঁ, যেতিয়া মই মোৰ বিদ্যায়তনিক গোটটোক অতিক্ৰমী গণিত জনপ্ৰিয়কৰণৰ প্ৰচেষ্টা প্ৰথম আৰম্ভ কৰিছিলোঁ তেতিয়া মোৰ গণিতজ্ঞ-সংগীসকলে কি ক’ব বুলি সন্দেহ কৰি মই সংকুচিত হৈছিলোঁ। এইটো এটা প্ৰত্যাহ্বান আছিল আৰু মই জানিছিলোঁ ‘প্ৰকৃত গণিতজ্ঞই কৰিবলগীয়া এইবোৰ একো কাম নহয়’ ধৰণৰ প্ৰৱল ঋণাত্মক প্ৰতিক্ৰিয়া গণিতজ্ঞ-সংগীসকলৰ পৰা আহিব।

সম্ভৱতঃ মই এটা সঠিক সময়তেই আৰম্ভ কৰিছিলোঁ; কিন্তু প্ৰকৃততে এইটো মই পাইছিলোঁ এনে এটা কাৰণতহে যে আমাৰ গণিতজ্ঞ-গোটে ইতিমধ্যে উপলব্ধি কৰিছিল যে আমাৰ বিষয়টো মুখপাত্ৰ নাথাকিলে নিঃশেষ হৈ যাব। ইয়াৰ গুৰুত্বক স্বীকৃতি প্ৰদান কৰিবলৈ আমাক জনগণৰ প্ৰয়োজন, যাতে আমি আমাৰ অনুজ প্ৰজন্মৰ ছাত্ৰ-ছাত্ৰীক অনুপ্ৰাণিত কৰিব পাৰোঁ। সেইবাবে মই বহুতো ভাল ভাল সঁহাৰি লাভ কৰিছিলোঁ, আৰু সেইয়া বহুলাংশে মোৰ সহযোগী গণিতজ্ঞ-সংগীবৃন্দৰ পৰা পাইছিলোঁ। তেওঁলোকে কৈছিল ‘জানা? তুমি যে এইটো কৰি আছা, সঁচাকৈ এইয়া বহু মহৎ কাৰ্য।’” – মাৰ্কাছ ডু চুতয়।

অক্সফ’ৰ্ডৰ প্ৰখ্যাত গণিতজ্ঞ, জনপ্ৰিয় লেখক, বিবিচিৰ বিজ্ঞান-গণিত-ক’ডিং জনপ্ৰিয়কৰণৰ বিভিন্ন অনুষ্ঠানত অংশ-লওঁতা, টেডৰ বক্তা, ৰয়েল ছ’চাইটিৰ সদস্য মাৰ্কাছ ডু চুতয়ৰ সৈতে “গণিত চ’ৰা”ৰ সহ-প্ৰতিষ্ঠাপক মঞ্জিল পি. শইকীয়াৰ মূল ইংৰাজী আছুতীয়া সাক্ষাৎকাৰত গণিতজ্ঞ-লেখক-বক্তাগৰাকীয়ে আগবঢ়োৱা বক্তব্যৰ এইয়া কিছু অংশ। মূল ইংৰাজী সাক্ষাৎকাৰটি সম্পূৰ্ণকৈ ইয়াত পঢ়িব পাৰিব— http://gonitsora.com/interview-marcus-du-sautoy

(৩)

১) “বাস্তৱ জগতত সম্পূৰ্ণ নিখুঁত গোলক পোৱা নাযায়, কিন্তু বাস্তৱতা সিহঁতৰ আছেই৷ সিহঁতৰ অস্তিত্ব আছে মানুহৰ কল্পনাত — আৰু সেইখনেই হৈছে আটাইতকৈ মহত্বপূৰ্ণ জগত৷”

— মাইকেল আটিয়া (Michael Atiyah, ২২ এপ্ৰিল ১৯২৯ -)৷ ফিল্ডছ মেডেল আৰু এবেল বঁটা বিজয়ী ব্ৰিটিছ গণিতজ্ঞ৷

২) “এজন মানুহ এটা ভগ্নাংশৰ দৰে, যাৰ লবটো হৈছে তেওঁ যি সেইটো৷ আৰু তেওঁৰ হৰটো হৈছে তেওঁ নিজকে যি বুলি ভাবে সেইটো৷ হৰটো বৃহত্তৰ মানে ভগ্নাংশটো ক্ষুদ্ৰতৰ৷”

— লিঅ’ তলষ্টয় (Leo Tolstoy, ১৮২৮ – ১৯১০)৷ “যুদ্ধ আৰু শান্তি” নামৰ উপন্যাসখনকে ধৰি বহু সৃষ্টিৰ বাবে বিখ্যাত, মহান ৰাছিয়ান লেখক৷

৩) “গণিত আৰু গণিত শিক্ষা সম্পৰ্কত ছাত্ৰ-ছাত্ৰীসকলৰ বিশ্বাসবোৰে গণিতৰ প্ৰতি তেওঁলোকৰ আগ্ৰহ, গণিত অধ্যয়নত তেওঁলোকে আহৰণ কৰা আনন্দ, আৰু গণিতৰ শ্ৰেণীকোঠাত তেওঁলোকৰ উৎসাহত গুৰুত্বপূৰ্ণ প্ৰভাৱ পেলাব পাৰে৷”

উৎসঃ “Beliefs: A Hidden Variable in Mathematics Education?” নামৰ গ্ৰন্থখন৷

৪) “গণিতজ্ঞসকলে বস্তুবোৰৰ কথা অধ্যয়ন নকৰে, তেওঁলোকে অধ্যয়ন কৰে বস্তুবোৰৰ মাজৰ সম্পৰ্কক৷ এই বস্তুবোৰ বদলি কৰি আন বস্তু ল’লেও সেয়া তেওঁলোকৰ বাবে উপেক্ষণীয় কথা, যদিহে বস্তুবোৰ সলনি কৰোতে সেই সম্পৰ্কটো সলনি নহয়৷ পদাৰ্থই তেওঁলোকৰ মনোযোগ আকৰ্ষণ নকৰে, তেওঁলোক মাথোঁ গঠনৰ বিষয়ে আগ্ৰহী৷”

— অঁৰি পঁকাৰে (Henri Poincare, ২৯ এপ্ৰিল ১৮৫৪ – ১৭ জুলাই ১৯১২)৷ ফৰাচী গণিতজ্ঞ৷

৫) “পাটীগণিতীয় চিহ্নবোৰ হ’ল লিখিত নক্সা আৰু জ্যামিতীয় চিত্ৰবোৰ হ’ল অংকিত সূত্ৰ৷”

— ডেভিদ হিলবাৰ্ট (David Hilbert, ২৩ জানুৱাৰী ১৮৬২ – ১৪ ফেব্ৰুৱাৰী ১৯৪৩)৷ জাৰ্মান গণিতজ্ঞ৷

৬) “মৌলিক সংখ্যাবোৰে গ্ৰীকসকলৰ দিনৰ পৰাই গণিতজ্ঞসকলক তূতুৱাই আহিছে; কাৰণ মৌলিক সংখ্যাবোৰে এনেকুৱা দেখুৱায় যেন সিহঁতে একৰকমৰ যাদিচ্ছিকভাৱে অৱস্থান কৰি আছে কিন্তু একদম সম্পূৰ্ণ যাদিচ্ছিকো নহয়৷”

— ছাৰ টিমোথি গওয়াৰ্চ (Sir Timothy Gowers, ২০ নবেম্বৰ ১৯৬৩ -)৷ ১৯৯৮ চনত ফিল্ডছ মেডেল বিজয়ী ব্ৰিটিছ গণিতজ্ঞ৷

৭) “কোনেনো কল্পনা কৰিছিল যে স্বাভাৱিক সংখ্যাবোৰৰ (১, ২, ৩, ৪, …) দৰে ইমান সৰল বস্তুবোৰে এদিন মৌলিক সংখ্যাবোৰৰ (২, ৩, ৫, ৭, ১১, …) দৰে ইমান দুৰ্বোধ্য কিবাবোৰ জন্ম দিব পাৰিব?”

— ইয়ন ষ্টিৱাৰ্ট (Ian Stewart, ২৪ ছেপ্টেম্বৰ ১৯৪৫ -)৷ ব্ৰিটিছ গণিতজ্ঞ আৰু বিখ্যাত বিজ্ঞান লেখক৷

(৪)

প্ৰখ্যাত ভাৰতীয় গণিতজ্ঞ আৰু লেখক জগত নাৰাইন কাপুৰে (Jagat Narain Kapur, ৭ ছেপ্টেম্বৰ ১৯২৩ – ৪ ছেপ্টেম্বৰ ২০০২) কৈছিল যে এইখিনি গুণ বা বৈশিষ্টৰ অধিকাৰী হ’লে ছাত্ৰ-ছাত্ৰীয়ে মহত্ব অৰ্জন কৰিব পাৰে:

* গোটেই বছৰ জুৰি প্ৰতিদিনে ৭/৮ ঘণ্টা অধ্যয়ন আৰু আজৰি পৰত পুথিভঁৰালৰ উপযুক্ত ব্যৱহাৰ৷

* জ্ঞান আৰু অন্বেষণৰ দ্বাৰা উৎসাহিত৷

* জীৱনভৰ শিকাৰু ৰূপে প্ৰতি টোপা জ্ঞান প্ৰাণ কৰিবলৈ অধীৰ৷

* সৃষ্টিশীল আৰু অভিনৱ ধাৰণা৷

* খুদুৱনী দূৰ কৰিবলৈ ভাল বন্ধু, শিক্ষক আৰু বিদ্বানসকলৰ সৈতে কথোপকথন৷

* খেলুৱৈসুলভ উদ্দীপনাৰে খেলাধূলা, প্ৰতিযোগিতা আৰু extracurricular activities ত ভাগ লোৱা৷

* বিদ্বান আৰু শিক্ষকসকলৰ প্ৰতি সন্মান ৰখা৷ কেৱল মাথোঁ ক্ষমতাশালী ব্যক্তিসকলৰ প্ৰতি নহয়৷

* জীৱনৰ এটা লক্ষ্য থকা৷

* আত্মবিশ্বাসেৰে বলীয়ান হোৱা।

* দুখীয়াৰ প্ৰতি সমবেদনা আৰু অশিক্ষিত জনক শিক্ষিত কৰি তোলাত সহায় কৰিবলৈ হৃদয়বান৷

* বিশ্বৰ সম্পদ আহৰণতকৈ বিশুদ্ধ জ্ঞান অৰ্জন৷

* কাগজৰ ডিগ্ৰীতকৈ গভীৰতম জ্ঞান লাভত সন্তুষ্টি৷

(৫)

মাজে মাজে এটি প্ৰশ্ন উত্থাপন হয়। কথাটো আশ্চৰ্যকৰ বাবে কোনো সময়ত প্ৰশ্নটো ধেমেলীয়াও হয়। প্ৰশ্নটো হ’ল— “গণিত-বিজ্ঞানৰ কিবা পঢ়িলেই অয়লাৰ য’তে ত’তে ইমানকৈ ওলাই কিয়?”

বেৰী চাইমন নাম গণিতজ্ঞ আৰু পদাৰ্থ-বিজ্ঞানীজনৰ এটি বিখ্যাত বক্তৃতাৰ কেইটিমান বাক্যত ইয়াৰ এটা ধুনীয়া উত্তৰ প্ৰকাশ হৈ আছে। চাইমনে কৈছিল—

“অয়লাৰ, যি আছিল এজন মহান পদাৰ্থবিদ, তেওঁ আছিল অপৰ্যাপ্ত সৃষ্টি-উৎপাদনশীল (prolific)। ওঠৰ শতিকাটোত গণিত আৰু পদাৰ্থ বিজ্ঞানৰ যিমানবোৰ গৱেষণা-পত্ৰ সৃষ্টি হৈছিল তাৰ প্ৰায় এক তৃতীয়াংশ অকল অয়লাৰৰ নিজৰে আছিল বুলি এক আন্দাজ কৰা হৈছে। ১৭৭৫ চনত, ৬৮ বছৰ বয়সত, তেওঁ ৫০ খনতকৈ অধিক গৱেষণা-পত্ৰ লিখিছিল। এই প্ৰসংগত চমকপদ কথাটো হ’ল এই যে ১৭৬৬ চনৰ পৰা তেওঁ সম্পূৰ্ণ অন্ধ হৈ পৰিছিল। তেওঁ লিপিকাৰ আৰু গাণিতিক সহায়কাৰীৰ সহায়ত লিখিব লগা হৈছিল (তাৰ মাজত আছিল তেওঁৰ পুত্ৰ আৰু নাতি)।”

(৬)

কিছুমান গাণিতিক সমস্যা পৃথক পৃথক ধৰণে সমাধান কৰিব পাৰি। গণিতৰ এটা বিশেষ শাখাৰ জৰিয়তে সমাধান হোৱা সমস্যা একোটা আন এক শাখাৰ জৰিয়তে প্ৰমাণ কৰিব পাৰি নেকি, তাৰো প্ৰচেষ্টা গণিতজ্ঞসকলে চলাই থাকে। এনেকুৱা লাখোধিক উদাহৰণ ওলাব।

ধৰাহওক এজন শিক্ষকে এটা শাখাৰ জৰিয়তে এটা প্ৰশ্নৰ এটা জটিল সমাধান দিছে। একেটা প্ৰশ্নকে কেতিয়াবা আন এজন শিক্ষকে আন এক শাখাৰ জৰিয়তে সহজে প্ৰমাণ কৰাৰ কথা শিকাইছে। তেতিয়া, বহুতো ছাত্ৰ-ছাত্ৰীয়ে প্ৰথম শিক্ষকজন বেয়া, দ্বিতীয়জনহে ভাল — এনেধৰণৰ ধাৰণা লয়। বা সহজ পোৱাটো শিকি লৈ আনখিনি কথা শিকিবলৈ আগ্ৰহ আঁতৰাই দিয়ে। প্ৰকৃততে এইটো তেওঁলোকৰ শুদ্ধ পথ নহয়। যি কি নহওক, কোৱা হয় যে আটাইতকৈ অধিক ধৰণে প্ৰমাণ হোৱা উপপাদ্যটো পাইথাগোৰাছৰ উপপাদ্য। উপপাদ্যটো হ’ল— সমকোণী ত্ৰিভুজৰ অতিভুজৰ বৰ্গ বাকী দুটা বাহুৰ বৰ্গৰ যোগফলৰ সমান। অৰ্থাৎ, এটা সমকোণী ত্ৰিভুজৰ অতিভুজৰ দৈৰ্ঘ্য $c$, আৰু বাকী দুটা বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য $a$ আৰু $b$ হ’লে $a^২+b^২=c^২$ হ’ব। পাইথাগোৰাছৰ (আনুমানিক খ্ৰীঃপূঃ ৫৭০ – খ্ৰীঃপূঃ ৪৯৫) পূৰ্বেও ইয়াক মানুহে জানিছিল বুলি সন্দেহ কৰা হয়। কিন্তু প্ৰথমটো সঠিক প্ৰমাণ পাইথাগোৰাছে আগবঢ়াইছিল বুলি তথ্য পোৱা যায়। তেতিয়াৰ পৰা আজি পৰ্যন্ত ইয়াৰ নতুন প্ৰমাণ উলিওৱাৰ চেষ্টা চলি আছে। এই উপপাদ্যটো এহেজাৰতকৈও অধিক ধৰণে প্ৰমাণ কৰা হৈছে। ২০২০ ৰ চেপ্টেম্বৰ মাহতো ইয়াৰ এটা নতুন প্ৰমাণ ওলাইছে। সেইটো আগবঢ়াইছে ইটালীৰ কম্পিউটাৰ-বিজ্ঞানৰ অধ্যাপক এজনে। যিটো প্ৰমাণ পাইথাগোৰাছৰ ধৰণৰ জ্যামিতীয় চিত্ৰৰে প্ৰমাণ, কিন্তু সামান্য জটিল। অৱশ্যে, পাইথাগোৰাছৰ প্ৰমাণটোৰ দৰে এইটো প্ৰমাণো স্কুলীয়া ছাত্ৰ-ছাত্ৰীয়ে বুজিব পৰা। নতুন প্ৰমাণটোৰ ঠিকনা: https://doi.org/10.1080/0025570X.2020.1791531

(৭)

২০১৫ চনত “Indian journal of history of science”ৰ এটি সংখ্যাত প্ৰকাশিত এখন গৱেষণা-পত্ৰৰ মতে, ভাৰতত গণিতৰ ডক্টৰেট ডিগ্ৰী লাভ কৰা প্ৰথমজন ব্যক্তি শ্যামাদাস মুখোপাধ্যায় (Syamadas Mukhopadhyay)। তেওঁ ১৯১০ চনত কলিকতা বিশ্ববিদ্যায়লৰ পৰা ডক্টৰেট ডিগ্ৰী লৈছিল আৰু বিষয় আছিল “Parametric coefficients in differential geometry of curves”। গণিতৰ দ্বিতীয়জন আছিল একেখন বিশ্ববিদ্যালয়ৰ। তেওঁ আছিল হৰিদাস বাগ্‌চী (Haridas Bagchi)। তেওঁ লাভ কৰিছিল ১৯১২ চনত আৰু বিষয় আছিল “Curves of the third order, cubics, quartics”।

এওঁলোক দুয়ো হ’ল ভাৰতত ডক্টৰেট লাভ কৰা ক্ৰমে তৃতীয় আৰু চতুৰ্থজন। প্ৰথমজন আছিল ৰসায়ন বিজ্ঞানৰ আৰু তেওঁ লাভ কৰিছিল ১৯০৪ চনত এলাহাবাদ বিশ্ববিদ্যালয়ৰ পৰা। দ্বিতীয়জন আছিল চিকিৎসা বিজ্ঞানৰ আৰু তেওঁ লাভ কৰিছিল ১৯০৯ চনত কলিকতা বিশ্ববিদ্যায়লৰ পৰা।

প্ৰশ্ন হ’ল, গণিতত ডক্টৰেট ডিগ্ৰী লোৱা প্ৰথমজন ভাৰতীয় কোন? অৰ্থাৎ, এইসকলৰ পূৰ্বে ভাৰতৰ বাহিৰৰ পৰা কোনোবাই ডিগ্ৰী লৈছিল নেকি? সেইদৰে অসমত গণিতৰ ডক্টৰেট ডিগ্ৰী লোৱা প্ৰথমজন ব্যক্তি কোন? তেওঁৰ পূৰ্বে অসমৰ বাহিৰত ভাৰতীয় প্ৰতিষ্ঠানত কোনোবাই ডিগ্ৰী লৈছিল নেকি বা ভাৰতৰ বাহিৰত পূৰ্বে কোনোবাই লৈছিল নেকি? কোনো অসমীয়াই লিখা গণিতৰ প্ৰথমখন গৱেষণা-পত্ৰ কোনখন?

(৮)

“I’ve noticed that there are three ways in which scientists grow old. Some stop doing research and drop out to do other things. The second group gets bored and overreaches by going into new fields where they don’t have the background — Linus Pauling, William Shockley and Fred Hoyle come to mind there.

A third way is just to keep on doing what you’re good at and accept that you may not be scaling more than a plateau.”

— Martin Rees

Former President of the Royal Society (2005 to 2010)

(৯)

$১২ × (৩ × ৪ + ৫ + ৬) × ৭ + ৮৯ = ২০২১$

$(৯ × ৮ + ৭ + ৬) × ৫ × ৪ + ৩২১ = ২০২১$

জন ডি. কুক নামৰ গণিতজ্ঞ আৰু লেখকজনৰ বিভিন্ন প্ৰফাইলৰ পৰা সংগৃহিত।

(১০)

$x$ তকৈ সৰু বা সমান ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা একোটাৰ উৎপাদকসমূহৰ গড় সংখ্যা হৈছেঃ

$\frac{১}{x}\sum_{n\le x}\sum_{d|n}১=\frac{১}{x}\sum_{d\le x}\sum_{\substack{n\le x \\ d|n}}১\approx \frac{১}{x}\sum_{d\le x}\frac{x}{d}=\sum_{d\le x}\frac{১}{d}\approx \log x.$