টোকাবহী (গণিত) : ৫১ – ৬০

(৫১)

অসীম শ্ৰেণীৰ বিশ্লেষণ প্ৰাচীন গ্ৰীকসকলে জিনোৰ সাঁথৰসমূহ চিন্তা কৰাৰ দিনতে আৰম্ভ হৈছিল, বিশেষকৈ এৰিষ্টটলে ৰচনা কৰা ‘Physics’ ৰ Book V ত। সোতৰ শতিকাৰ নতুন গণিতে অসীম শ্ৰেণী বিশ্লেষণৰ এক নতুন যুগ সূচনা কৰিবলৈ নতুন সঁজুলিৰ এক অস্ত্ৰভাণ্ডাৰ প্ৰদান কৰিছিল।

সোতৰ শতিকাৰ শেষৰফালে জেকব বাৰ্ণলিয়ে প্ৰমাণ কৰিলে যে হৰাত্মক শ্ৰেণীটো

$\displaystyle \sum_{k=১}^{\infty}\frac{১}{k}=১+\frac{১}{২}+\frac{১}{৩}+\frac{১}{৪}+\cdots$
অপসাৰী। তাৰ পাছত তেওঁ এই প্ৰশ্ন উত্থাপন কৰিলে যে বিপ্ৰতীপ বৰ্গবোৰৰ যোগফলটো

$\displaystyle \sum_{k=১}^{\infty}\frac{১}{k^২}=\lim_{m\to\infty}\bigg(\frac{১}{১^২}+\frac{১}{২^২}+\frac{১}{৩^২}+\cdots+\frac{১}{m^২}\bigg)$
অপসাৰী নে অভিসাৰী। এই প্ৰশ্নটোৰ উত্তৰ দিবলৈ বাৰ্ণলিয়ে অন্য এটা অসীম শ্ৰেণীৰ পিনে ধ্যান দিলে।

ত্ৰিভুজীয় সংখ্যাবোৰ হৈছে ১ ৰ পৰা $n$ লৈ পূৰ্ণসংখ্যাকেইটাৰ যোগফলৰ দ্বাৰা গঠিত সংখ্যাবোৰ। উদাহৰণস্বৰূপে, $১=১$, $৩=১+২$, $৬=১+২+৩।$ অধিক সাধাৰণভাৱে,

$(n^২+n)/২=১+২+৩+\cdots+(n-১)+n।$

তাৰ পাছত বাৰ্ণলিয়ে প্ৰমাণ কৰিলে যে বিপ্ৰতীপ ত্ৰিভুজীয় সংখ্যাৰ শ্ৰেণীটো

$\displaystyle \sum_{n=১}^{\infty}\frac{১}{\frac{n^২+n}{২}}$
২ লৈ অভিসাৰী। তেওঁ $১/n^২\leq ২/(n^২+n)$ টো উপলব্ধি কৰি অতি সহজেই প্ৰমাণ কৰিলে যে বিপ্ৰতীপ বৰ্গবোৰৰ যোগফলটো এটা সংখ্যালৈ অভিসাৰী যিটো সংখ্যা ২ তকৈ ডাঙৰ নহয়। কিন্তু, তেওঁ সেই মানটো নিৰ্ণয় কৰিবলৈ সক্ষম নহ’ল। বাৰ্ণলিয়ে মন্তব্য কৰিছিল, “আমাৰ প্ৰচেষ্টাক বাধা দিয়া কাৰকটো নিৰ্ণয়ত যদি কোনোবা সফল হয় আৰু আমাৰ সৈতে যোগাযোগ কৰে, তেন্তে তেওঁৰ প্ৰতি অতিকে কৃতজ্ঞ হ’ম।” বাৰ্ণলিৰ সন্মানত এই সমস্যাটো ‘বাজেল সমস্যা’ নামেৰে জনাজাত হৈ পৰিছিল।

অইলাৰে বাজেলত তেওঁৰ শিক্ষক, জেকবৰ ভাতৃ য়হান বাৰ্ণলিৰ ওচৰত সংখ্যা তত্ত্ব অধ্যয়ন কৰাৰ কোনো তথ্য পাবলৈ নাই। এই বিষয়টোৰ প্ৰতি তেওঁৰ আগ্ৰহ ১৭২৯ চনত, ছেইণ্ট পিটাৰ্ছবাৰ্গ অকাডেমীৰ প্ৰথমগৰাকী স্থায়ী সচিব খ্ৰিষ্টিয়ান গ’ল্ডবাকৰ দ্বাৰা ক্ৰিয়ান্বিত হোৱা যেন ধৰণা হয় (যিজন ব্যক্তিৰ নামতেই গ’ল্ডবাকৰ অনুমান নামকৰণ কৰা হৈছে, যে ২ তকৈ ডাঙৰ প্ৰতিটো যুগ্ম সংখ্যাক দুটা মৌলিক সংখ্যাৰ যোগফল ৰূপে প্ৰকাশ কৰিব পাৰি।)

অইলাৰে বাজেল সমস্যাটোত নিমগ্ন হোৱা আৰম্ভ কৰিলে ১৭৩১ চনৰ পৰা। ১৭৩৫ চনলৈ তেওঁ এইটো সমাধান কৰিলে।

— ষ্টিফেন হকিং

(৫২)

“Your manuscript is both good and original; but the part that is good is not original, and the part that is original is not good.”

— Samuel Johnson

“The first draft reveals the art; revision reveals the artist.”

— Michael Lee

“Good stories are not written. They are rewritten.”

— Phyllis Whitney

(৫৩)

২০২২ বৰ্ষৰ গণিত বিজ্ঞানৰ শান্তি স্বৰূপ ভাটনাগৰ বঁটা বিজয়ী গণিতজ্ঞ দুজনৰ এজন হৈছে ড৹ নীৰজ কয়াল। তেওঁ বৰ্তমান ‘মাইক্ৰ’ছফ্ট ৰিচাৰ্ছ লেব – ইণ্ডিয়া’ৰ এগৰাকী গৱেষক। তেওঁৰ জন্ম আৰু প্ৰাৰম্ভিক শিক্ষা অসমত। ‘অসম গণিত শিক্ষায়তন’এ আয়োজন কৰা গণিত অলিম্পিয়াডত, ১৯৯৭ আৰু ১৯৯৮ বৰ্ষত তেওঁ কটন মহাবিদ্যালয়ৰ পৰা ভাগ লৈ দুবাৰকৈ ড৹ সুব্ৰতানন্দ দুৱৰা স্বৰ্ণ পদক জয় কৰিছিল।

শান্তি স্বৰূপ ভাটনাগৰ বঁটা ৪৫ বছৰৰ অনূৰ্ধৰ বিজ্ঞানীলৈ আগবঢ়োৱা হয়। এই বঁটাত আগবঢ়োৱা হয় নগদ পাঁচ লাখ টকা, আৰু প্ৰাপকজনক ৬৫ বছৰ বয়স পৰ্যন্ত প্ৰতি মাহে পোন্ধৰ হাজাৰকৈ টকাও প্ৰদান কৰা হয়।

নীৰজ কয়ালে পাবলগীয়া এই সমুদায় অৰ্থ-মূল্য তেওঁক সৰুকালত বিভিন্ন প্ৰতিযোগিতামূলক পৰীক্ষা, প্ৰশিক্ষণ আদিৰ মাধ্যমেৰে উপকৃত কৰা অসম গণিত শিক্ষায়তন (AAM), জগদীশ বোস নেচনেল চায়েন্স টেলেণ্ট চাৰ্চ (JBNSTS) আৰু হোমি ভাভা চেণ্টাৰ ফৰ চায়েন্স এডুকেশ্বন (HBCSE)-ক প্ৰদান কৰাৰ প্ৰস্তাৱ আগবঢ়াইছে। এই অনুসৰি তেওঁ বঁটাৰ লগত প্ৰাৰম্ভিকভাৱে পাবলগীয়া ধনৰ অৰ্ধাংশ ‘অসম গণিত শিক্ষায়তন’লৈ আগবঢ়ায়।

(৫৪)

“Grothendieck was working on the foundations of algebraic geometry seven days a week, twelve hours a day, for ten years.”

— David Ruelle

(৫৫)

Studying Math is Different from Studying Other Subjects

* Math is learned by doing problems. Do the homework. The problems help you learn the formulas and techniques you do need to know, as well as improve your problem-solving prowess.

* A word of warning: Each class builds on the previous ones, all semester long. You must keep up with the Instructor: attend class, read the text and do homework every day. Falling a day behind puts you at a disadvantage. Falling a week behind puts you in deep trouble.

* A word of encouragement: Each class builds on the previous ones, all semester long. You’re always reviewing previous material as you do new material. Many of the ideas hang together. Identifying and learning the key concepts means you don’t have to memorize as much.

Source: Student Resources, Saint Louis University

(৫৬)

৩৫৭৬৮৬৩১২৬৪৬২১৬৫৬৭৬২৯১৩৭

এইটো এটা মৌলিক সংখ্যা। ইয়াৰ বাওঁপিনৰ অংকবোৰ এটা এটাকৈ আঁতৰাই গৈ থাকিলে প্ৰতিবাৰেই একোটা মৌলিক সংখ্যাই পোৱা যায়। এনেকুৱা সংখ্যা মুঠতে ৪২৬০ টা আছে, আৰু এইটো হৈছে এনেকুৱা আটাইতকৈ ডাঙৰ সংখ্যাটো।

(৫৭)

“If I could prove by logic that you would die in five minutes, I should be sorry you were going to die, but my sorrow would be very much mitigated by pleasure in the proof!”

— G. H. Hardy (He said this to Bertrand Russell)

(৫৮)

Normal Mathematics and Revolutionary Mathematics

Normal mathematics is mathematical research which does not require introducing hypotheses that cannot be deduced from established mathematics.

Revolutionary mathematics is mathematical research which requires introducing hypotheses that cannot be deduced from established mathematics, and tie together disparate areas, or open new areas of mathematics.

— Carlo Cellucci

“I think that there is a difference between pure and applied mathematics, but like almost everything concerning the real world, the idea is vague. Although there is no precise definition of a baby or a mountain, for instance, these concepts are still useful. The same is true of the distinction between pure and applied math. For me a key component of this difference is intention. If someone is doing math with no intent to apply it outside math, and if it is reasonable for he or she to suppose that there is no obvious application, then that person is doing pure math. If X’s research on elliptic curves finds an application 50 years later to cryptography, then X’s research is still in pure math. The person who found the application would be doing applied math. I also don’t feel that it’s useful to judge whether or not pure math is “better” than applied. It’s like asking whether chemistry is better than poetry. My own work is entirely in pure math, except for a few early papers written when I worked during the summer at the Caltech Jet Propulsion Laboratory.”

— Richard P. Stanley

“Why do we do mathematics? We mainly do mathematics because we enjoy doing mathematics. But in a deeper sense, why should we be paid to do mathematics? If one asks for the justification for that, then I think one has to take the view that mathematics is part of the general scientific culture. We are contributing to a whole, organic collection of ideas, even if the part of mathematics which I’m doing now is not of direct relevance and usefulness to other people. If mathematics is an integrated body of thought, and every part is potentially useful to every other part, then we are all contributing to a common objective.

If mathematics is to be thought of as fragmented specializations, all going off independently and justifying themselves, then it is very hard to argue why people should be paid to do this. We are not entertainers, like tennis players. The only justification is that it is a real contribution to human thought. Even if I’m not directly working in applied mathematics, I feel that I’m contributing to the sort of mathematics that can and will be useful for people who are interested in applying mathematics to other things.”

— Michael Atiyah

(৫৯)

“During the height of the Newtonian era, philosophers, such as Immanuel Kant, never doubted the truth of Euclid’s parallel postulate. They merely inquired about the nature of its truth. Was the parallel postulate necessarily true of the cosmos or only contingently true? Of course, since the advent of the Einsteinian revolution, we know that the parallel postulate isn’t true at all about the cosmos. The Einsteinian space-time cosmos that we inhabit is curved. Euclidean geometry and Newtonian physics are only approximations.

So, we may ask, what did the Greeks think about the nature of the parallel postulate? I believe that a brief consideration of the ancient Greek conception of the world will explain that they too viewed the parallel postulate as a useful fiction rather than as a true description of the physical world. After all, the Greeks believed that we inhabited what the historian of science Alexandre Koyré has called a “closed world,” a spherical cosmos in which there were no straight lines actually extending to infinity. Below the moon’s orbits, bodies moved in straight lines either towards the center of the earth or away from it. Above the moon’s orbit, bodies orbited in perfect circles around the center of the earth. In this cosmos, there weren’t actually any straight lines at all.”

— Stephen Hawking

(৬০)

* $x$ তকৈ সৰু বা সমান মৌলিক সংখ্যাসমূহৰ সংহতিটোৰ মাত্ৰাক $\pi(x)$ ৰে সূচোৱা হয়। $x$ ৰ বৃহৎ মানৰ বাবে $\pi(x)$ ৰ আসন্নমান $x/\log x.$ আকৌ, $n$ ৰ বৃহৎ মানৰ বাবে $n$-তম মৌলিক সংখ্যাটোৰ আসন্নমান $n\log n.$

* যমজ মৌলিকসমূহৰ অনোন্যকৰ যোগফলটো

$\displaystyle\bigg(\frac{১}{৩}+\frac{১}{৫}\bigg)+\bigg(\frac{১}{৫}+\frac{১}{৭}\bigg)+\bigg(\frac{১}{১১}+\frac{১}{১৩}\bigg)+\bigg(\frac{১}{১৭}+\frac{১}{১৯}\bigg)+\cdots$
অভিসাৰী। ই যিটো সংখ্যালৈ অভিসাৰী হয়, তাক ব্ৰাণৰ ধ্ৰুৱক (Brun’s constant) বুলি কোৱা হয়।

* ইটাং ঝাঙে প্ৰমাণ কৰিছিল যে ৭০০০০০০০ তকৈ সৰু কোনো এটা ব্যৱধানৰ মৌলিক সংখ্যাৰ যোৰ অসীম সংখ্যক আছে। ইটাং ঝাঙৰ এই যুগান্তকাৰী কৰ্মটোৰ পাছত, কেইজনমান গণিতজ্ঞই এক সামুহিক প্ৰকল্প যোগে এই ব্যৱধানৰ সীমাটো ৪৬৮০ লৈ কমাবলৈ সক্ষম হয়। জেমছ মেয়নাৰ্ডে ইয়াক ৬০০ লৈ কমাইছিল আৰু সেই সম্পৰ্কত তেওঁৰ ‘Small gaps between primes’ শীৰ্ষক গৱেষণা-পত্ৰখন ‘Annals of Mathematics’ত প্ৰকাশ পাইছিল।

* ‘যমজ মৌলিক অনুমান’টো (Twin Prime Conjecture) হ’ল, ২ ব্যৱধানৰ মৌলিক সংখ্যাৰ যোৰ অসীম সংখ্যক আছে। অৰ্থাৎ, যমজ মৌলিক অসীম সংখ্যক আছে। বহু যুগ ধৰি জনাজাত এই অনুমানটো আজিও প্ৰমাণ হোৱা নাই।