টোকাবহী (গণিত) : ৩১ – ৪০

(৩১)

কোনো এটা সংখ্যাক এটা মৌলিক সংখ্যা $p$ ৰে হৰণ যোৱাৰ সম্ভাৱিতা $\dfrac{১}{p}$.

দুটা সংখ্যা পৰস্পৰ মৌলিক হোৱাৰ সম্ভাৱিতা ${\displaystyle \prod_{p \text{ মৌলিক}}\bigg(১-\dfrac{১}{p^২}\bigg)}\approx ০. ৬১$।

পৰ্যাপ্ত পৰিমাণে ডাঙৰ এটা সংখ্যা $x$ এটা মৌলিক সংখ্যা হোৱাৰ সম্ভাৱিতা প্ৰায় $\dfrac{১}{\ln{x}}$.

এই শেষৰ সম্ভাৱিতাটোৰ ওচৰা-ওচৰি ৰূপ এটা অনুমান কৰিছিল চেঙেলীয়া গাউছে (কাৰ্ল ফ্ৰিডৰিখ গাউছ, ১৭৭৭ – ১৮৫৫)। আৰু এই দিশত, তেওঁৰ পিছৰ কালৰ আৰু আগৰ কালৰ কেইবাজনো গণিতজ্ঞৰ পৃথক প্ৰচেষ্টাৰ শেষত গঢ়ি উঠিছিল এটা অতি মোহনীয় অসামান্য উপপাদ্য।

(৩২)

Sujatha Ramdorai: What are your views on the state of Higher education and research in India?

A SWOT (Strength, Weakness, Opportunities and Threats) analysis.

M S Narasimhan: Strength: We have some institutions of top level in undergraduate, graduate and doctoral education. Potentially very talented students.

Weakness: Mostly undergraduate education is weak. Many bright students do not want to pursue academic studies leading to original work.

Opportunities: Now seem plenty many higher education institutes being started. There are training programmes at various levels and substantial financial support to students.

Threats: Not having many qualified teachers and not too many people pursuing academic career, mainly due to internal and external brain drain.

(৩৩)

“মোৰ কোনো সামগ্ৰিক লক্ষ্য নাই, কিন্তু যেতিয়া মই এটা (গাণিতিক) সমস্যাৰ প্ৰতি আগ্ৰহী হওঁ মই ইয়াক সমাধান কৰাতকৈ অধিক কৰিব বিচাৰোঁ; মই সঁচাকৈয়ে বুজিব বিচাৰোঁ কি হৈ আছে আৰু অধিক আগলৈ আগবাঢ়িবলৈ সমাধানটো ব্যৱহাৰ কৰাত সক্ষম হ’ব বিচাৰোঁ।”

— ৰিচাৰ্ড পি. ষ্টেনলি

দুটা খণ্ডত প্ৰকাশিত ‘Enumerative Combinatorics’ শীৰ্ষক গ্ৰন্থখনৰ বাবে বিখ্যাত গণিতজ্ঞ, MIT ৰ প্ৰাক্তন অধ্যাপক। এতিয়াও গৱেষণাৰত ৭৭ বছৰ বয়সীয়া গণিতজ্ঞগৰাকীয়ে এয়া যোৱা বছৰ কোৱা কথা।

(৩৪)

“Unless you are exceptionally brilliant and can solve a long-standing problem of great interest (consider Yitang Zhang coming out of nowhere to make a spectacular breakthrough in number theory), it will be really beneficial to your career to produce your own research problems, the more the better (within reason). Always keep your eyes and ears open to possible interesting problems. If for instance a seminar speaker mentions a problem that you like and is more-or-less in an area about which you are knowledgeable, then don’t hesitate to think about it! Don’t think, “I never worked on hyperconvex residuated posets, so how could I get anywhere?” Play around with it a little— maybe you will think of something. It might suggest a related question. Do some experiments, gather some data, etc. Doing some computations might suggest a further idea, even if the computations themselves don’t seem helpful. Moreover, if you decide to stop working on a problem, do not think that you are giving up. You never know when some random remark at a seminar or in a paper might be the key to further progress. Keep these unsuccessful attempts in the back of your mind, ready to be let out if the door is opened a crack.”

— Richard P. Stanley

(৩৫)

${\displaystyle (x_1+x_2+\cdots+x_k)^n=\sum_{\substack{a_1+a_2+\cdots+a_k=n \\ a_1,a_2,\dots,a_k\geq0}}\binom{n}{a_1,a_2,\dots,a_k}x_1^{a_1}x_2^{a_2}\cdots x_k^{a_k}.}$

$\binom{a_1+a_2+\cdots+a_k}{a_1,a_2,\dots,a_k}=\binom{a_1}{a_1}\binom{a_1+a_2}{a_2}\cdots\binom{a_1+a_2+\cdots+a_k}{a_k}.$

(৩৬)

একক দৈৰ্ঘৰ বাহু যুক্ত এটা ঘনক যদি বাওঁপিনৰ চিত্ৰত দেখুওৱা দৰে সমতলত প্ৰক্ষেপিত কৰা হয়, তেন্তে প্ৰক্ষেপিত ৰূপটোৱে এটা একক দৈৰ্ঘৰ বাহু যুক্ত বৰ্গ গঠন কৰিব, যাৰ কালি হ’ব ১ বৰ্গ একক। যদিহে, সোঁপিনৰ চিত্ৰত দেখুওৱা দৰে, ঘনকটোৰ কৰ্ণ এডালৰ সাপেক্ষে উলম্বভাবে প্ৰক্ষেপিত কৰা হয়, তেন্তে এটা সুষম ষড়ভুজ পোৱা যাব, যাৰ কালি হ’ব $\sqrt{৩}$ বৰ্গ একক। এইটো কল্পনা কৰিবলৈ অলপ কঠিন যেন লাগিব পাৰে। কিন্তু গণিতজ্ঞসকল ইমানতে ক্ষান্ত থকা নাই। যদিহে ঘনকটো থোৱাৰ আৰ্হি বিভিন্ন ধৰণে সলনি কৰা হয়, তেন্তে সমূহ প্ৰক্ষেপিত অংশৰ কালিৰ গড় মান কিমান হ’ব? আৰু যদি ঘনকৰ সলনি বেলেগ আকৃতি লোৱা হয়? বা মাত্ৰা ৩ তে নাৰাখি যদি উচ্চ মাত্ৰাৰ আকৃতি লোৱা হয়? এনেবোৰ প্ৰশ্নৰ উত্তৰ উলিওৱাৰ উপায় নিৰ্ণয়তো গণিতজ্ঞসকল নিমগ্ন হয়।

(৩৭)

মানৱ ইতিহাসৰ ৰূপান্তৰক

গণিত জনপ্ৰিয়কৰণৰ বাবে বিবিধ কাম কৰোঁতা, এগৰাকী লেখক আৰু গণিত শিক্ষক আলি কায়াস্পৰে এবাৰ লিখিছিল—

এজন মাথোঁ ব্যক্তিৰ ধাৰণাৰাজিয়েই এক অসাধাৰণ পাৰ্থক্য আনি দিব পাৰে। মানৱজাতিৰ ইতিহাসৰ একো একোটা ৰূপান্তৰত সাধাৰণতে নৱ ধাৰণাবোৰে অৰিহণা যোগাইছিল। আমি এনে ধাৰণাবোৰৰ কেইটামান উদাহৰণ চাওঁ আহক…

এলান ট্যুৰিং আছিল দ্বিতীয় মহাসমৰৰ সময়ত জাৰ্মান সৈন্যই ব্যৱহাৰ কৰা গোপন সংকেতসমূহ ভেদ কৰাত সহায় কৰোঁতা৷ গোপন সংকেত বিশ্লেষণত তেওঁৰ অসাধাৰণ গাণিতিক ধাৰণা আছিল৷ তেওঁৰ নতুন ধাৰণাসমূহৰ অবিহনে মহাসমৰখন কমেও আৰু দুবছৰ ধৰি চলি থাকিলহেঁতেন৷ বিশেষকৈ, নৰ্মন্দীত যুঁজ দিয়াতো সম্ভৱ নহ’লহেঁতেন৷ এইটো অতি চিত্তাকৰ্ষক কথা যে এটা মাথোঁ মগজুৰ এটা ধাৰণায়েই গোটেই পৃথিৱীত ইমান ডাঙৰ প্ৰভাৱ পেলাব পাৰে৷ কিন্তু তেওঁৰ অনুপ্ৰেৰণাটো কি আছিল? তেওঁ এজন দেশপ্ৰেমিক নাছিল৷ উত্তৰটো সৰল; তেওঁৰ প্ৰধান প্ৰেৰণাটো আছিল সাঁথৰ ভঙা, গুপ্তৰহস্য ভেদ কৰা, জটিল প্ৰশ্নৰ প্ৰত্যাহ্বান গ্ৰহণ কৰা৷ তেওঁ মাথোঁ সেইবাবেই আছিল৷

পল এয়াৰডছ কুৰি শতিকাটোৰ সৰ্বাধিক উৎপাদনক্ষম গণিতজ্ঞজন৷ (তেওঁ লিখিছিল ১৫০০ৰো অধিক গৱেষণা-পত্ৰ, আৰু তেওঁৰ আছিল ৫০০ৰো অধিক সহ-লেখক৷) এই হাংগেৰীয় গণিতজ্ঞজনৰ কোনো ঘৰ নাছিল, গাড়ী নাছিল, বেংক একাউণ্ট নাছিল, দৰমহা নাছিল, একোৱেই নাছিল৷ তেওঁৰ আছিল মাথোঁ এটা চ্যুটকেছ আৰু তেওঁৰ ধাৰণাবোৰ৷ তেওঁ গোটেই জীৱন উপপাদ্য কিছুমানত লাগি আছিল৷ যেতিয়া তেওঁ কিবা পুৰস্কাৰ হিচাপে কিছু ধন লাভ কৰিছিল, তাৰো অংশ আন একোটা উপপাদ্য প্ৰমাণৰ বাবে পুৰস্কাৰ হিচাপে দি দিছিল৷

১৯৩৩ চনত লিঅ’ চিলাৰ্ড আছিল শৃংখল বিক্ৰিয়া (chain reaction) বিষয়টো উপলব্ধি কৰা প্ৰথমজন মানুহ৷ এদিনাখন তেওঁ এখন বাতৰি-কাকত পঢ়ি আছিল আৰু তাতে পাৰমাণবিক পদাৰ্থবিদ্যাৰ জনক ৰাডাৰফ’ৰ্ডৰ বক্তৃতা এটাৰ সম্পৰ্কে এটা বাতৰি পালে৷ পৰামাণুত নিহিত শক্তি সম্পৰ্কে ৰাডাৰফ’ৰ্ডে কোৱা কেইটিমান কথাই তেওঁৰ মনোযোগ আকৰ্ষণ কৰিলে৷ ৰাডাৰফ’ৰ্ডে কৈছিল, “It would be moonshine talking if you are willing to extract energy from the atom.” অন্য ভাষাৰে ক’ব বিচাৰিলে, তেওঁ কৈছিল যে, পৰমাণুত কিছু শক্তি নিহিত থাকে, কিন্তু সি ইমানেই সামান্য যে তাক লৈ কেতিয়াও একো কৰিব পৰা নাযায়৷ চিলাৰ্ডে সেইটো বিশ্বাস কৰা নাছিল আৰু ৰাডাৰফ’ৰ্ডৰ কথাটো ভুল বুলি প্ৰমাণ কৰিবলৈ সিদ্ধান্ত লৈছিল৷ তেওঁ কামত লাগি গৈছিল আৰু দিনৰ পাছত দিন চিন্তাত মগ্ন আছিল৷ আৰু এদিনাখন লণ্ডনত এটা পথ পাৰহৈ ফুৰোঁতেই শৃংখল বিক্ৰিয়া আৰু পাৰমাণবিক শক্তিৰ সূচকীয় ক্ৰমবৃদ্ধিৰ তত্ত্বটো তেওঁৰ বোধোদয় হৈছিল৷

চিলাৰ্ড মানহাট্টান প্ৰকল্পৰো বাটকটীয়া আছিল৷ আৰু যেতিয়া তেওঁ প্ৰিন্সটনত আইনষ্টাইনক লগ কৰিছিল, তেওঁ আইনষ্টাইনক শৃংখল বিক্ৰিয়া আৰু পাৰমাণবিক বোমাৰ সম্পৰ্কে কৈছিল৷ আইনষ্টাইন আচৰিত হৈ গৈছিল, কাৰণ তেওঁ সেই সম্পৰ্কে ভবাই নাছিল৷ এইটো আমোদজনক কাহিনী, কাৰণ বহুতে পাৰমাণবিক বোমাৰ লগত আইনষ্টাইনৰে নাম লয়৷ অৱশ্যে পাৰমাণবিক বোমাৰ আঁৰৰ মূল লোকজন আছিল ৰবাৰ্ট ওপেনহাইমাৰ, যি সিমান জনাজাত নহয়৷ অত্যন্ত শক্তিশালী বোমা নিৰ্মাণৰ সম্ভৱনাৰ সম্পৰ্কে সতৰ্ক কৰি দিবলৈ আইনষ্টাইন আৰু চিলাৰ্ডে ৰাষ্ট্ৰপতি ৰুজভেল্টলৈ চিঠি লিখিছিল৷

ওপৰৰ তিনিওজন বিজ্ঞানীয়ে কেৱল উপযুক্ত ধাৰণাৰাজিৰ জৰিয়তেই আক্ষৰিক অৰ্থতেই পৃথিৱী সলনি কৰি দিছিল৷ নৱ ধাৰণাৰ প্ৰতি তেওঁলোকৰ আছিল সাংঘাটিক ক্ষুধা৷

(৩৮)

স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ সংহতিটোৰ সসীম মাত্ৰাৰ একোটা উপসংহতি $S$ ক শ্ৰাইয়াৰ সংহতি বুলি কোৱা হয় যদিহে $\min S\geq |S|$। য়ুজেফ শ্ৰাইয়াৰ (J$\acute{\text{o}}$zef Schreier) নামৰ এজন গণিতজ্ঞই এইবিধ সংহতি প্ৰথমে অধ্যয়ন কৰিছিল আৰু বানাখ স্থান (Banach space) সম্পৰ্কীয় কিছু ফলাফল নিৰ্ণয়ৰ বাবে ইয়াক প্ৰয়োগ কৰিছিল।

তলত দিয়া সংহতিসমূহ এক বিশেষ ধৰণৰ শ্ৰাইয়াৰ সংহতি:
$S_k(n):=\{S\subset {১,২,৩,\dots,n}: |S|\geq k, \ \text{আৰু } \ \min S\geq |S|\},$
য’ত $n$ হৈছে ১ তকৈ ডাঙৰ অখণ্ড সংখ্যা আৰু $k$ হৈছে ০ তকৈ ডাঙৰ অখণ্ড সংখ্যা। উদাহৰণস্বৰূপে,
$S_১(৪)=\{\{১\},\{২\},\{৩\},\{৪\},\{২,৩\},\{২,৪\},\{৩,৪\}\}।$
গতিকে $\mid S_১(৪)\mid=৭।$

এই শ্ৰেণীৰ শ্ৰাইয়াৰ সংহতিক ফিব’নাচ্চি অনুক্ৰম $(F_n){n\geq ১}$ ৰ সৈতে জড়িত কৰিব পাৰি। যদি
$P(F_n):=\left(\sum_{i=১}^nF_i\right)_{n\geq১},$
১ তকৈ ডাঙৰ সকলো অখণ্ড সংখ্যা $k$ ৰ বাবে
$P^k(F_n):=P(P^{k-১}(F_n)),$
হয়, আৰু $P^k(F_n)$ অনুক্ৰমটোৰ $n$ তম পদটো $a_k(n)$ হয়, তেন্তে
$\mid S_k(n)\mid=a_k(n-২(k-১))।$

(৩৯)

“প্ৰথম কথা, আজিকালিৰ বহুতো ডেকা মানুহে কেৱল এক সুপ্ৰতিষ্ঠিত পৰিকাঠামোৰ ভিতৰতহে কাম কৰিব পৰাৰ ঠিক বিপৰীতে তেওঁ আনৰ নতুন ধাৰণা আৰু নতুন দিশৰ প্ৰতি নমনীয় আৰু গ্ৰহণক্ষম আছিল। দ্বিতীয়তে, অধিক গুৰুত্বপূৰ্ণভাবে আৰু সেই একে ধৰণে, তেওঁৰ গণিতৰ এক গভীৰ আৰু সুতীক্ষ্ণ বোধশক্তি আছিল, বা আৰু বিস্তৃতকৈ ক’বলৈ গ’লে তেওঁ গণিতৰ প্ৰতিটো বুনিয়াদী পৰিঘটনাৰ প্ৰকৃত অৰ্থ বুজিবলৈ আৰু ইয়াক এক স্পষ্ট ৰূপত আৰু উন্নত দৃষ্টিকোণত উপস্থাপন কৰিবলৈ অক্লান্ত প্ৰচেষ্টা চলাইছিল।”

— অন্দ্ৰে ভেইৰ সম্পৰ্কত গ’ৰ’ চিমুৰা

(৪০)

“চাকৰি বিচাৰি মই ১২০ খন দৰ্খাস্ত লিখিছিলোঁ আৰু আটাইকেইখন প্ৰেৰণ কৰিছিলোঁ। তাৰে দুখনৰ উত্তৰ আহিছিল, আৰু দুয়োখনৰে উত্তৰটো আছিল— “নহ’ব”।”

— পল হেলমছ

গণিত বিষয়ক বিখ্যাত লেখক আৰু গণিতজ্ঞ। ইনষ্টিটিউট ফৰ এডভান্সড ষ্টাডিত (IAS) মহান গণিতজ্ঞ জন ভন নয়মেনৰ সহযোগী হিচাপেও তেওঁ কাম কৰিছিল।