হোৱাটছ্এপত ৯ যাদুটোৰে কোনোবাই আপোনাক “গাধ” সজিছে নেকি?
বন্ধু-বান্ধৱক “গাধ” আদি বুলি ধেমালীকে ক’বলৈ হোৱাটছ্এপত কেতিয়াবা এজনে আনজনলৈ কিছুমান কৌতুক প্ৰেৰণ কৰা দেখা যায়। অসমীয়াতে কোনোবাই কোনোবাই দিয়া তেনে এটা মেছেজ পালোঁ। আৰু তাৰ পাছত কিছু খুচৰি চোৱাৰ পাছত ফেচবুকৰ কোনো কোনো পৃষ্ঠাটো সেই মেছেজটো দেখা পালোঁ। কিছু বানান-ব্যাকৰণ আদি সামান্য শুদ্ধ কৰি মেছেজটো তলত দিলোঁ। প্ৰথমে মেছেজটো পঢ়ি গণনাখিনি আপুনিও এবাৰ কৰি চাওক। মেছেজটো হ’ল—
“এই অংকটোৱে ক’ব আপুনি প্ৰকৃততে কি। তলত দিয়া সংখ্যাকেইটাৰ মাজৰ পৰা এটা বাচি লওক—
১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬, ৭, ৮।
বাচি ল’লে?
ঠিক আছে।
এতিয়া আপুনি বাচি লোৱা সংখ্যাটোক ৩ ৰে পূৰণ কৰক। এই পূৰণফলটোৰ লগত এতিয়া ৩ যোগ কৰক। আকৌ এবাৰ ৩ যোগ কৰক। এতিয়া যিটো সংখ্যা পালে সেই সংখ্যাটোক ৩ ৰে পূৰণ কৰক।
আপুনি দুটা অংক (digit) থকা এটা সংখ্যা পাইছে। দুয়োটা অংক যোগ কৰক। এতিয়া কি পালে সেই সংখ্যাটো তলত বিচাৰক, আৰু সংখ্যাটোৰ বিপৰীতে থকা গুণটোৰ পৰা জানিব পাৰিব আপুনি প্ৰকৃততে কি।
১ — ভাগ্যৱান।
২ — দয়ালু।
৩ — সৎ।
৪ — সাহসী।
৫ — বহুত ধুনীয়া।
৬ — শান্ত স্বভাৱৰ।
৭ — স্বাৰ্থপৰ।
৮ — দুখী-আত্মা।
৯ — গাধ।
১০ — বুধিয়ক।
যদি আপুনি মানি ল’বলৈ টান পাইছে তেন্তে অন্য সংখ্যা এটা বাচি লৈ পুনৰ চাব পাৰে। ধন্যবাদ।।।”
এইটোৱেই মেছেজটো। আৰু আপুনি প্ৰতিটো সংখ্যা বাচি লৈ লৈ গণনা কৰি চালেও আন একো নাপায়, আপুনি মাথোঁ পাব— আপুনি কেৱল এটা/এজনী গাধ (বা গাধী)!! 😀 অৰ্থাৎ, যিকোনো এটা সংখ্যা বাচি লৈ গণনা কৰিলেও প্ৰতিবাৰতে ফলাফলটো কেৱল ৯ পোৱা যায়। এতিয়া ৰসিকতাখিনি বাদ দি বহুতৰ মনলৈ প্ৰশ্ন আহিব পাৰে— বাচি লোৱা প্ৰতিটো সংখ্যাৰ বাবেই ৯ কিয় পোৱা যায়? আৰু যদি বাচি ল’বলৈ দিয়া সংখ্যাবোৰ ১ ৰ পৰা ৮ লৈ দিয়াৰ পৰিবৰ্তে ৯, ১০, ১১, ১২, ১৩, …. আদিও দিয়া হয় তেতিয়াও সেই গণনাখিনিৰ পাছত ৯কে পোৱা যাব নেকি? যদি পোৱা যায়, তেন্তে কিয় পোৱা যায় সেইটো প্ৰমাণ কৰিব পৰা যাবনে?
প্ৰমাণটো খুৱ সহজ। তলৰ কথাখিনি পঢ়াৰ আগতে নিজে কিছুসময় চেষ্টা কৰি চাব পাৰে বা ঘৰৰ ল’ৰা-ছোৱালীকেইটাৰ পঢ়াৰ যত্ন যদি আপুনি নিজে লয়, তেন্তে তেওঁলোককো প্ৰমাণটো কৰিবলৈ দিব পাৰে।
৯ আৰু ১০ ৰ বাবে যদি আমি গণনাখিনি কৰি চাওঁ—
৯X৩=২৭; ২৭+৩+৩=৩৩; ৩৩X৩=৯৯; এতিয়া ৯+৯=১৮। ইয়াত ৯ পোৱা নাযায়।
১০X৩=৩০; ৩০+৩+৩=৩৬; ৩৬X৩=১০৮; এতিয়া ১+০+৮=৯। ইয়াত ৯ পোৱা যাব।
ওপৰত ৯ ৰ বাবে, মেছেজটোৰ মতে গণনাখিনি কৰি প্ৰথমবাৰতেই অংক দুটাৰ যোগফল ৯ ৰ সলনি ১৮হে পোৱা গ’ল যদিও, ১৮ৰ অংক দুটা যোগ কৰিলে কিন্তু ১+৮=৯ য়েই পাম। এইদৰে বাকীবোৰো এটা এটাকৈ পৰীক্ষা কৰি চাব পাৰি।
আচলতে, ইয়াত অংকবোৰৰ যোগফল ল’বলগীয়া সংখ্যাবোৰতে এটা সাধাৰণ ধৰ্ম সোমাই আছে। যিকোনো এটা সংখ্যা বাচি লৈ গণনাটো কৰাৰ পাছত লাভ কৰা সংখ্যাটো কেনেকুৱা হয় আমি চাওঁ আহক। বাচি লোৱা সংখ্যাটো আমি a বুলি ধৰি লৈ যদি গণনাটো কৰি চাওঁ—
aX৩=৩a; ৩a+৩+৩=৩a+৬; (৩a+৬)X৩ = ৯a+১৮ = ৯(a+২)।
অৰ্থাৎ, ফলাফল হিচাপে লাভ কৰা সংখ্যাটো সদায় ৯ ৰে বিভাজ্য সংখ্যা।
আকৌ, ৯ ৰে বিভাজ্য সংখ্যাবোৰৰ এটা বিশেষ ধৰ্ম আছে। ৯ ৰে বিভাজ্য প্ৰতিটো সংখ্যাৰ অংকবোৰৰ যোগফলটোও সদায় ৯ ৰে বিভাজ্য হয়। মেছেজটো সোমাই থকা যাদুটো এইটোৱেই। এইটো প্ৰমাণ কৰিলেই ওপৰৰ প্ৰশ্নসমূহৰ উত্তৰ ওলাই পৰিব।
প্ৰমাণ:—
৯ ৰে বিভাজ্য যিকোনো এটা সংখ্যা n লোৱা যাওক।
তেতিয়া n সংখ্যাটোৰ ৰূপটো হ’ব n=৯m, য’ত m আন কোনোবা এটা স্বাভাৱিক সংখ্যা।
আকৌ, n সংখ্যাটোৰ অংকবোৰ যদি ক্ৰমে …. d, c, b, a হয়, তেন্তে n ক আমি তলত দিয়া ধৰণে লিখিব পাৰোঁ—
n = a + ১০b + ১০০c + ১০০০d + …
এইখিনিকে পুনৰ সজাই লিখিলে পাম—
n = a + (৯+১)b + (৯৯+১)c + (৯৯৯+১)d + …
=> n = (a+b+c+d+….) + ৯b + ৯৯c + ৯৯৯d + …
=> n = (a+b+c+d+….) + ৯(b + ১১c + ১১১d + …)
=> (a+b+c+d+….) = n – ৯(b + ১১c + ১১১d + …)
=> (a+b+c+d+….) = ৯m – ৯(b + ১১c + ১১১d + …)
=> (a+b+c+d+….) = ৯(m – b – ১১c – ১১১d – …)
এতিয়া, a+b+c+d+…. হ’ল n সংখ্যাটোৰ অংকবোৰৰ যোগফল। গতিকে আমি দেখিলোঁ— অংকবোৰৰ যোগফলটো ৯ ৰে বিভাজ্য। প্ৰমাণটো হৈ গ’ল।
মেছেজটোত কিবা-কিবি পূৰণ-যোগ কৰি শেষত মুঠতে এটা ৯ ৰে বিভাজ্য সংখ্যা উলিয়াবলৈ দিয়া হয়। গতিকে তাৰ অংকবোৰ যোগ কৰিলে ৯ৰে বিভাজ্য সংখ্যা এটাই পোৱা যায়। আৰু মেছেজটোত প্ৰতিটো যোগফলতে উত্তৰ ৯ পোৱাকৈ সংখ্যাকেইটা দিয়া হৈছে। (৯ নিজেও ৯ ৰে বিভাজ্য!)
হাইস্কুলত ভৰি দিয়া মানুহ মাত্ৰেই ওপৰৰ কথাখিনি বুজি পাব; আৰু যিসকলে তাৰ পাছত গণিতৰ কোনো এটা শাখাই কোনোদিন পঢ়া নাই, অথচ বেংক বা অফিচ-কাচাৰী আদিত চাকৰি পাবলৈ বিভিন্ন পৰীক্ষাৰ বাবে সাধাৰণ গণিত কিছু পৰিমাণে অনুশীলন কৰিব লগা হৈছে তেওঁলোকৰ বহুতে প্ৰমাণটো আগতীয়াকৈ নোচোৱাকৈ নিজেও কৰিব পাৰিব। আনহাতে, ওপৰৰ পেৰাগ্ৰাফটোতে এই লেখাটো শেষ কৰি পেলাবও পৰা যায়। কিন্তু, বহুতো অনুসন্ধিৎসু মানুহৰ মনলৈ প্ৰমাণটোৰ শেষৰ শাৰীটো দেখাৰ পাছতে এটা প্ৰশ্ন আহিব— যদি (m-b-১১c-১১১d-…) টো শূন্য বা ঋণাত্মক সংখ্যা হয়, তেতিয়া কি হ’ব? গতিকে, এইটো এটা ধণাত্মক সংখ্যা বুলি প্ৰমাণ নকৰিলে ওপৰৰ প্ৰমাণটোত সম্পূৰ্ণ সন্তুষ্ট হ’ব পৰা নাযায়। আৰু তাকে কৰিবলৈ যাওঁতে প্ৰমাণটো বহুত লেলপেলীয়া দীঘল হৈ হৈ গৈ থাকিব। এই সকলো কথা সামৰি Modular Arithmetic ব্যৱহাৰ কৰি প্ৰমাণটো চাৰিশাৰীমানতে ধুনীয়াকৈ কৰি পেলাব পৰা যায়।
প্ৰমেয়:— ৯ ৰে বিভাজ্য প্ৰতিটো সংখ্যাৰ অংকবোৰৰ যোগফলটো সদায় ৯ ৰে বিভাজ্য।
প্ৰমাণ:— ধৰাহ’ল সংখ্যাটো $$a_0+10a_1+10^2a_2+10^3a_3+\dots +10^na_n, n\in N.$$
গতিকে $$a_0+10a_1+10^2a_2+10^3a_3+\dots +10^na_n\equiv 0 (mod 9).$$
এতিয়া $$10^ka_k\equiv a_k (mod 9),\forall 0\leq k\leq n,$$ গতিকে,
$$a_0+10a_1+10^2a_2+10^3a_3+\dots +10^na_n\equiv a_0+a_1+a_2+a_3+\dots +a_n (mod 9)$$
$$\Rightarrow a_0+a_1+a_2+a_3+\dots +a_n\equiv 0 (mod 9).$$
অৰ্থাৎ, অংকবোৰৰ যোগফলটো ৯ৰে বিভাজ্য।
আনহাতে, $$a_0+10a_1+10^2a_2+10^3a_3+\dots +10^na_n > a_0+a_1+a_2+a_3+\dots +a_n, \forall n.$$
অৰ্থাৎ, ৯ৰে বিভাজ্য সংখ্যাটোৰ অংকবোৰ যোগ কৰি পোৱা নতুন সংখ্যাটো ৯ৰে বিভাজ্য হোৱাৰ লগতে মূল সংখ্যাটোতকৈ সৰুও। সেইবাবে, নতুন সংখ্যাটোৰ অংকবোৰ যোগ কৰি ক্ৰমে ক্ৰমে গৈ থাকিলে অৱশেষত আমি ৯ৰে বিভাজ্য আটাইতকৈ সৰু স্বাভাৱিক সংখ্যা ৯ পামগৈ।
No Comments