টোকাবহী (গণিত) : ৮১ – ৯০

(৮১)

সমবাহু ত্ৰিভুজ, বৰ্গ, সুষম বহুভুজ —এইবোৰ হৈছে দ্বিমাত্ৰীক সুষম বস্তু। সেইদৰে ঘণক হ’ল ত্ৰিমাত্ৰীক এবিধ সুষম বস্তু। এইবোৰৰ চিত্ৰ একোটা আঁকি সিহঁতক কিছুদূৰ আয়ত্ব কৰিব পৰা যায়। তেনেদৰে চতুৰ্থ মাত্ৰাৰ বা তাতকৈয়ো ডাঙৰ মাত্ৰাৰ সুষম বস্তুবোৰক কেনেকৈ বুজাব পৰা যাব? সেইবোৰক চিহ্নিত কৰিব পৰা যাব কেনেকৈ? মাত্ৰা যদি ১০ হয়? যদি ১২৫ হয়? যদি আৰু বাঢ়ি যায়?

সমবাহু ত্ৰিভুজক {৩} ৰে বুজাব পাৰি। মানে তাত তিনিটা শীৰ্ষ বিন্দু আছে আৰু সমান সমান দূৰত্বত আছে। গতিকে সহজেই ক’ব পাৰি যে বৰ্গক {৪} ৰে বুজাব পাৰি। সেইদৰে সকলো সুষম বহুভুজক বুজাব পৰা যাব।

আমি যে তৰা বুলি এটা চিহ্ন আঁকো, সেইটোও সুষম আৰু সেইটোও দ্বিমাত্ৰীক বস্তু। কিন্তু সেইটোত একেবাৰে কাষে কাষে থকা শীৰ্ষ বিন্দুবোৰ লগ লাগি নাথাকে। তাত ৫ টা শীৰ্ষ বিন্দু থাকে আৰু প্ৰতিটো শীৰ্ষ বিন্দুৱে তাৰ কাষতে থকা বিন্দুক এৰি পিছৰ বিন্দুৰ লগত যুক্ত হৈ থাকে। অৰ্থাৎ ২ দূৰত্বত শীৰ্ষ বিন্দুবোৰ সংযোগ হৈ থাকে। ইয়াক {৫/২} ৰে বুজাব পাৰি। এনেদৰে অলেখ তৰা পোৱা যায়, আৰু সেইবোৰক এনেদৰে {ক/খ} হিচাপে বিশেষ একোটা পৰিমেয় সংখ্যাৰেই বুজাব পৰা যায়।

ইয়াৰ পাছত আহিল ত্ৰিমাত্ৰা। ঘণকত কি থাকে? তাত প্ৰতিটো শীৰ্ষ বিন্দুত তিনিটাকৈ বৰ্গ যুক্ত হৈ থাকে। মানে প্ৰতিটো শীৰ্ষ বিন্দুত তিনিটাকৈ {৪} যুক্ত হৈ থাকে। সেয়েহে ঘণকক {৪,৩} ৰে বুজাব পাৰি। এনেকৈ দুটা সংখ্যা {ক,খ} ৰে ত্ৰিমাত্ৰীক সুষম বস্তুবোৰ বুজাব পাৰি। ইয়াৰ অৰ্থ হ’ল বস্তুটোৰ প্ৰতিটো শীৰ্ষ বিন্দুত খ সংখ্যক {ক} যুক্ত হৈ থাকে। তেন্তে {৮,৫} ৰে এটা ত্ৰিমাত্ৰীক সুষম বস্তু বুজাব, কিন্তু সেই বস্তুটো কেনেকুৱা হ’ব? সেইটোৰ বাবে কেৱল কল্পনা কৰিব লাগিব।

এই ধৰণেৰে চতুৰ্থ মাত্ৰাত একোটা সুষম বস্তুক এনেদৰে {ক,খ,গ} তিনিটা সংখ্যাৰে বুজাব পাৰি। ইয়াৰ অৰ্থ হ’ল বস্তুটোৰ প্ৰতিটো বাহুত গ সংখ্যক {ক,খ} যুক্ত হৈ থাকে। ইয়াৰ বাবে আৰু অধিক কল্পনা কৰিব লাগিব। এনেকুৱা এটা বস্তু বহু জনপ্ৰিয়। বস্তুটো হ’ল {৪,৩,৩}। ইয়াক টেচাৰেক্ট বুলি মতা হয়। অৰ্থাৎ, টেচাৰেক্টত প্ৰতিটো বাহুত তিনিটাকৈ {৪,৩} যুক্ত হৈ আছে। মানে টেচাৰেক্টৰ প্ৰতিটো বাহুত তিনিটাকৈ ঘণক যুক্ত হৈ আছে। টেচাৰেক্ট চতুৰ্থ মাত্ৰাৰ বস্তু হোৱা বাবে ইয়াক কোনেও সাজি দেখুৱাব নোৱাৰে, কাৰণ মানুহে তিনি মাত্ৰালৈকেহে সম্পূৰ্ণকৈ আয়ত্ব কৰিবলৈ সক্ষম। কিন্তু কম্পিউটাৰ গ্ৰাফিক্‌ছৰ সহায়ত ত্ৰিমাত্ৰীক অৱস্থাতো টেচাৰেক্টৰ ধাৰণা এটা ইতিমধ্যে দিয়া হৈছে।

সেইদৰে {ক,খ,গ,ঘ,ঙ,চ,ছ,জ} এনেদৰে বিবিধ মাত্ৰাত বিবিধ সুষম বস্তু বুজাব পৰা যাব। {ক,খ,গ,ঘ,ঙ,চ,ছ,জ} ত ৮ টা সংখ্যা আছে। অৰ্থাৎ ই ৯ মাত্ৰাৰ এটা সুষম বস্তু।

৩ মাত্ৰাৰ বস্তুৰ ক্ষেত্ৰত শীৰ্ষ বুলি কওঁতে বিন্দু বিবেচনা কৰিব লগা হৈছিল, অৰ্থাৎ তাত “শীৰ্ষ” আছিল $৩-৩$ মাত্ৰাৰ। ৪ মাত্ৰাৰ বস্তুৰ ক্ষেত্ৰত শীৰ্ষ বুলি কওঁতে বাহু বিবেচনা কৰিব লগা হৈছিল, অৰ্থাৎ তাত “শীৰ্ষ” আছিল $৪-৩$ মাত্ৰাৰ। একেদৰে {ক,খ,গ,ঘ,ঙ,চ,ছ,জ} বস্তুটোৰ ক্ষেত্ৰত “শীৰ্ষ” হ’ব $৯-৩=৬$ মাত্ৰাৰ। সেই বস্তুটোৰ সেই প্ৰতিটো “শীৰ্ষ”ত জ সংখ্যক {ক,খ,গ,ঘ,ঙ,চ,ছ} যুক্ত হৈ থাকিব। এইসমূহৰ ৰূপ কল্পনাৰো সিপাৰৰ।

কল্পনাৰে ঢুকি নোপোৱা এই বস্তুখিনিকো সংখ্যাৰ সৰু সজ্জা একোটাৰে বুজাব পৰা গ’ল। ওপৰৰ কথাখিনি হৈছে কেৱল একোটা সংজ্ঞাহে। ইয়াৰ নিৰ্দিষ্ট এটা নামো আছে। আৰু এই সংজ্ঞা দিয়া হৈছিল প্ৰায় ডেৰশ বছৰৰ আগতেই। যোৱা এশ বছৰত এইখিনিক সঁজুলি ৰূপে লৈ বিবিধ মাত্ৰাৰ সুষম বস্তুৰ লগত জড়িত বহু প্ৰশ্নৰ উত্তৰ উলিওৱা হ’ল! এতিয়াও উলিয়াবলগা আছে বহু উত্তৰ। তেনেকুৱা এটা প্ৰশ্ন হ’ল— একেবিধ সুষম বস্তুক পিঠিয়া-পিঠি কৰি শাৰি পাটি ৰাখিলে কেনেকুৱা কথা গম পোৱা যাব? বজাৰত আপেল-কমলা বা চাবোনৰ বাকছ দ’মাই থোৱা দেখা পোৱা যায়। ঘণক আকৃতিৰ বাকছৰ একোটা শাৰী দেখা যায়। তেনেদৰে আন মাত্ৰাৰ সুষম বস্তুৰ শাৰীও সম্ভৱ হ’ব পাৰে। কিন্তু কিছুমান বস্তু শাৰী শাৰীকৈ লোৱা সম্ভৱ হয় নে নহয় সেইটোও এটা প্ৰশ্ন হ’ব পাৰে। ইয়াৰ অতি সহজ উদাহৰণ হ’ল: {৪,৪}

ওপৰত আমি পাইছিলোঁ যে {৪,৩} হ’ল ঘণক, য’ত প্ৰতিটো শীৰ্ষবিন্দুত ৩ টাকৈ বৰ্গ যুক্ত হৈ থাকে। সেইদৰে {৪,৪} ত প্ৰতিটো শীৰ্ষবিন্দুত ৪ টাকৈ বৰ্গ যুক্ত হৈ থাকিব। ইয়াৰ ৰূপটো কল্পনা কৰিব পৰা যাব। প্ৰতিটো শীৰ্ষবিন্দুত চাৰিটাকৈ বৰ্গ যুক্ত হৈ থাকিলে বস্তুটো হ’ব কেউপিনে অসংখ্য বৰ্গৰ এখন সৰু-নেওতা ঘৰৰ দৰে। বস্তুটোৰ কেউপিনে অসীমলৈ গৈ থাকিলেও বৰ্গ শেষ নহ’ব।

(৮২)

গণিতত floor function বুলি বস্তু এটা আছে। বস্তুটোৰ ধাৰণাটো সহজ। ই একোটা বাস্তৱ সংখ্যাতকৈ সৰু বা সমান অখণ্ড সংখ্যাটো বুজায়। ইয়াক $floor(n)$ ৰে চিহ্নিত কৰা হয়। যেনেঃ

$floor(৭.৫) = ৭,$
$floor(১২৫.৯) = ১২৫,$
$floor(৮) = ৮,$
$floor(–১২৫.৯) = – ১২৬।$

আজিৰ পৰা ২২০ বছৰ পূৰ্বে এই বস্তুটো প্ৰথম ব্যৱহৃত হৈছিল। বিভিন্ন কামত ইয়াক লগা হৈ আছে। অৱশ্যে আগতে ইয়াক floor function বুলি কোৱা হোৱা নাছিল আৰু বেলেগ বেলেগ ধৰণে চিহ্নিত কৰা হৈছিল। ১৯৬২ চনত কম্পিউটাৰ বিজ্ঞানী এজনে তেওঁৰ এখন প্ৰগ্ৰেমিঙৰ কিতাপত এই নামটো দিলে, আৰু তাক বুজাবলৈ $\lfloor~\rfloor$ চিহ্নটো ব্যৱহাৰ কৰিলে। যেনেঃ

$\left\lfloor ৭.৫\right\rfloor = ৭,$
$\left\lfloor –১২৫.৯\right\rfloor = –১২৬।$

এই floor function ৰ লগে লগে ceiling function বোলা বস্তুটোও ব্যৱহাৰ হ’ল। ই একোটা বাস্তৱ সংখ্যাতকৈ ডাঙৰ বা সমান অখণ্ড সংখ্যাটো বুজায়। ইয়াক $ceiling(n)$ ৰে চিহ্নিত কৰা হয়। যেনেঃ

$ceiling(৭.৫) = ৮,$
$ceiling(১২৫.৯) = ১২৬,$
$ceiling(৮) = ৮,$
$ceiling(–১২৫.৯) = –১২৫।$

সেই একেজন কম্পিউটাৰ বিজ্ঞানীয়েই সেইখন কিতাপতে এই নামটো দিলে, আৰু তাক বুজাবলৈ $\lceil~\rceil$ চিহ্নটো ব্যৱহাৰ কৰিলে। যেনেঃ

$\left\lceil ৭.৫\right\rceil = ৮,$
$\left\lceil –১২৫.৯\right\rceil = –১২৫।$

এই দুয়োটাৰে সংজ্ঞা বুজাটো তেনেই সহজ। আনহাতে দুটা বেলেগ বেলেগ নাম হ’লেও ইহঁত দুটাৰ মাজত সংযোগ স্থাপন কৰাটোৱো তেনেই সহজ। কিন্তু ইহঁত জড়িত কিছুমান সম্বন্ধ বহু জটিল। এতিয়াও এইবোৰ নিৰ্ণয়ত মানুহ লাগি আছে। যেনেঃ

১ তকৈ ডাঙৰ যিকোনো এটা স্বাভাৱিক সংখ্যা $n$ ৰ বাবেঃ

$\left\lfloor \frac{১}{n}\right\rfloor = ০,$

$\left\lfloor \frac{১}{n}\right\rfloor+\left\lfloor \frac{২}{n}\right\rfloor+\cdots+\left\lfloor \frac{n}{n}\right\rfloor = ১,$

কিন্তু,
$\left\lfloor \frac{n}{n}\right\rfloor+\left\lfloor \frac{n+১}{n}\right\rfloor+\cdots+\left\lfloor \frac{k}{n}\right\rfloor =?$
য’ত $k$ হ’ল $n$ তকৈ ডাঙৰ এটা স্বাভাৱিক সংখ্যা। ইয়াৰ সূত্ৰটো উলিওৱাটোও বৰ এটা টান নহ’ব। কিন্তু ইয়াৰ প্ৰতিটো পদতে $r$ ক ঘাত হিচাপে ল’লে মান কি হ’ব? অৰ্থাৎ এইটোৰ মান কিমানঃ
$\left\lfloor\frac{n}{n}\right\rfloor^r + \left\lfloor\frac{n+১}{n}\right\rfloor^r +\cdots+\left\lfloor\frac{k}{n}\right\rfloor^r.$
এই $r$ টো স্বাভাৱিক সংখ্যা হ’লে, ইয়াৰ মান নিৰ্ণয় কৰিব পৰা সূত্ৰ এটা মাথোঁ দুবছৰ পূৰ্বেহে ওলাইছে।

প্ৰথম $n$ টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফলৰ সূত্ৰটো মনত আছেনে?
$\displaystyle \sum_{i=১}^{n}i=\frac{n(n+১)}{২}.$

সেইদৰে আন দুটা সূত্ৰ চোৱাচোনঃ
$\displaystyle \sum_{i=১}^{n}\left\lfloor\sqrt{i}\right\rfloor=\frac{৬n\left\lfloor\sqrt{n}\right\rfloor – ২\left\lfloor\sqrt{n}\right\rfloor^৩ – ৩\left\lfloor\sqrt{n}\right\rfloor^২ + ৫\left\lfloor\sqrt{n}\right\rfloor}{৬},$
$\displaystyle \sum_{i=১}^{n}\left\lceil\sqrt{i}\right\rceil=\frac{৬n\left\lceil\sqrt{n}\right\rceil – ২\left\lceil\sqrt{n}\right\rceil^৩ + ৩\left\lceil\sqrt{n}\right\rceil^২ – \left\lceil\sqrt{n}\right\rceil}{৬}.$

এই ফলন দুটাৰ কিছু বৈশিষ্ট্য আয়ত্ব কৰিবলৈ তোমালোকে প্ৰথমে $\left\lfloor \frac{n-১}{x-১}\right\rfloor – \left\lfloor \frac{n}{x}\right\rfloor$ ৰ মান কি হ’ব পাৰে তাক নিৰ্ণয় কৰি চাব পাৰা। ইয়াত $n$ টো স্বাভাৱিক সংখ্যা; $x$ টো যিকোনো বাস্তৱ সংখ্যা আৰু যিকোনো মৌলিক সংখ্যা লৈ চাবা।

(৮৩)

ৰামানুজনৰ এটি বিখ্যাত আবক্ষ মূৰ্তিৰ কাষত ফিল্ডছ মেডেল বিজয়ী মেৰিনা ভিয়াজভস্কা।

১৯১৮ চনত ২ মে’ত শ্ৰীনিবাস ৰামানুজন ৰয়েল ছ’চাইটিৰ ফেল’ (FRS) ৰূপে নিৰ্বাচিত হৈছিল। ৰামানুজনক ফেল’ ৰূপে নিৰ্বাচনৰ শতবৰ্ষ পূৰ্তি উদযাপনৰ উদ্দেশ্যে ২০১৮ চনৰ ১৫ আৰু ১৬ অক্টোবৰত ৰয়েল ছ’চাইটিত ৰামানুজনৰ জীৱন, কৰ্মৰাজি, আৰু শেহতীয়া বিভিন্ন বিষয়ত তেওঁৰ উদ্ভাৱনৰ বিচক্ষণ প্ৰয়োগ সম্পৰ্কত এখনি কনফাৰেন্স আয়োজন কৰা হৈছিল। কনফাৰেন্সখনত আন আন বৰেণ্য গণিতজ্ঞৰ উপৰি মেৰিনা ভিয়াজভস্কায়ো এটি বক্তৃতা প্ৰদান কৰিছিল।

ৰামানুজনৰ পত্নী জানকীৰ হাতত সঞ্চিত হৈ থকা এখনি ফটোৰ আলমত আমেৰিকান ভাস্কৰ্য-শিল্পী পল গ্ৰেনলুণ্ডৰ দ্বাৰা ১৯৮৩ চনত ৰামানুজনৰ এটা ব্ৰঞ্জৰ আবক্ষ মূৰ্তি নিৰ্মাণ কৰা হৈছিল, আৰু দহটা প্ৰতিলিপি কৰা হৈছিল। তাৰে এটা নোবেল বঁটা বিজয়ী ভাৰতীয় বিজ্ঞানী সুব্ৰহ্মণ্যন চন্দ্ৰশেখৰে ১৯৯৪ চনত ৰয়েল ছ’চাইটিক প্ৰদান কৰিছিল। ৰয়েল ছ’চাইটিৰ সভাপতিৰ কাৰ্যালয় শুৱনি কৰা এই মূৰ্তিটো কনফাৰেন্সখনত প্ৰদৰ্শন কৰা হৈছিল।

(৮৪)

১৯৯৩ চনত, পল এয়াৰ্ডছৰ ৮০ বছৰীয়া জন্মদিন উদযাপনৰ উদ্দেশ্যে কেম্ব্ৰিজ বিশ্ববিদ্যালয়ৰ ট্ৰিনিটি কলেজত আয়োজিত এটি অনুষ্ঠানৰ এখনি পোষ্টাৰ।

(৮৫)

দাৰ্শনিক, গণিতজ্ঞ, বিজ্ঞানী বাৰ্ট্ৰাণ্ড ৰাছেলে তেওঁৰ আত্মজীৱনীত বহু সংখ্যক চিঠি সন্নিবিষ্ট কৰিছে আৰু তাত সন্নিবিষ্ট নোহোৱাকৈয়ো তেওঁৰ অলেখ গুৰুত্বপূৰ্ণ চিঠি আছে। তেনে এখন চিঠি তেওঁ ১৯১৩ চনৰ ২ ফেব্ৰুৱাৰীত এগৰাকী বান্ধৱীলৈ লিখিছিল, যাৰ সৈতে তেওঁ প্ৰায় ৩৫০০ খন চিঠি আদান-প্ৰদান কৰিছিল। ৰাছেলে লিখিছিল যে— তেওঁৰ সহকৰ্মী হাৰ্ডি আৰু লিটল্‌উডক দুপৰীয়া সাংঘাতিক উৎসাহিত হৈ কথা পাতি থকা পাইছে, কাৰণ দুয়োজনে ভাবিছে যে তেওঁলোকে দ্বিতীয় এজন নিউটন অৱিষ্কাৰ কৰিছে, যিজনে তেতিয়া বছৰি ২০ পাউণ্ড উপাৰ্জনেৰে মাদ্ৰাজত কেৰাণীৰ কাম কৰি আছে। সেয়া আছিল হাৰ্ডিয়ে ৰামানুজনৰ প্ৰথমখন চিঠি পোৱাৰ দুদিন নে তিনিদিন পাছৰ কাহিনী।

‘মেথেমেটিকা’ৰ সৃষ্টিকৰ্তা ষ্টিভেন ৱ’লফ্ৰাম কেৱল এজন কম্পিউটাৰ বিজ্ঞানী, গণিতজ্ঞ, আৰু তাত্ত্বিক পদাৰ্থবিজ্ঞানীয়েই নহয়, তেওঁ কেইবাখনো গ্ৰন্থ আৰু ভালেসংখ্যক অসাধাৰণ প্ৰবন্ধ লিখিছে। ৰামানুজনৰ সম্পৰ্কতো তেওঁ তেনে এটা প্ৰবন্ধ লিখিছিল।

১৯৩১ চনত স্থাপিত ‘zbMATH Open’ (পূৰ্বৰ নাম ‘Zentralblatt MATH’) হৈছে গণিতৰ গৱেষণা-পত্ৰৰ এটা ডেটাবেছ, যি বিশ্বত প্ৰকাশিত গণিতৰ গৱেষণা-পত্ৰসমূহৰ পৰ্যালোচনা প্ৰকাশ কৰে। ঊনৈশ শতিকাত স্থাপিত আৰু বৰ্তমান লুপ্ত এইধৰণৰ প্ৰথমটো ডেটাবেছৰ সমুদায় তথ্যও ইয়াত অন্তৰ্ভুক্ত কৰা হৈছে। উল্লেখযোগ্য যে ‘MathSciNet’ও গণিত জগতৰ তেনেকুৱা আনটো গুৰুত্বপূৰ্ণ ব্যৱস্থা। বিশ্বত প্ৰকাশিত গণিতৰ গৱেষণা-পত্ৰসমূহৰ পৰ্যালোচনা প্ৰকাশ কৰা জাৰ্নেল ‘Mathematical Reviews’অৰ সমুদায় তথ্য ‘MathSciNet’অত উপলব্ধ।

‘ৰামানুজনৰ গণিত’ৰ ভৱিষ্যৎ কি হৈছিল? এই সম্পৰ্কত ষ্টিভেন ৱ’লফ্ৰামে ‘zbMATH Open’অত সন্নিবিষ্ট সমস্ত গৱেষণা-পত্ৰৰ ভিতৰত সংখ্যা-তত্ত্বৰ গৱেষণা-পত্ৰৰ সংখ্যা বিশ্লেষণ কৰি বছৰৰ ভিত্তিত তলৰ লেখচিত্ৰটো লাভ কৰিছিলঃ

ই স্পষ্ট কৰি দিয়ে যে ৰামানুজনৰ মৃত্যুৰ সময়ৰ পৰা ৭০ চন মানলৈকে তুলনামূলকভাবে সংখ্যা-তত্ত্বৰ কাম বিশ্বত কমি গৈছিল। ষ্টিভেন ৱ’লফ্ৰামে লিখিছে যে ‘ৰামানুজনৰ গণিত’ সম্পৰ্কীয় কামো সিমান আগবঢ়া নাছিল। বিশ্বৰ গণিতজ্ঞসকল প্ৰধানকৈ নিবিষ্ট আছিল আধুনিক গণিতৰ বেলেগ বেলেগ শাখাত। ৭০’ৰ সময়খিনিত সংখ্যা-তত্ত্বই নিজৰ স্থান পটকৈ শিখৰলৈ মাৰি পঠিয়ালে। আধুনিক বীজগণিতৰ নৱতম বিকাশৰ পোহৰত সংখ্যা-তত্ত্বৰ অন্বেষণ গভীৰতৰ হ’ল। সেই সময়তেই ‘ৰামানুজনৰ গণিত’ জড়িত সমস্যাৰাজিয়েও গণিতজ্ঞসকলক বৰকৈ টানিবলৈ আৰম্ভ কৰিলে।

এতিয়া কেৱল ৰামানুজনে আগবঢ়োৱা সমস্যাসমূহতেই নহয়, তেওঁ গঢ়া ভেটিসমূহক অৱলম্বন কৰি বা পথসমূহ পাৰ হৈ নতুন সৃষ্টিৰ সাধনাত কেইবা যুগলৈকে ব্ৰতী থাকিব পৰাৰ সম্ভেদ পোৱা যায়।

২০১৮ চনত ৰয়েল ছ’চাইটিয়ে, ৰামানুজনক ৰয়েল ছ’চাইটিৰ সদস্য ৰূপে নিৰ্বাচনৰ শতবৰ্ষ উদযাপন কৰে। সেই সন্মিলনত আলোচ্য বিষয়-বস্তুসমূহক লৈ ‘Philosophical Transactions of the Royal Society A’ শীৰ্ষক ঐতিহাসিক জাৰ্নেলখনৰ ২০২০ চনৰ জানুৱাৰীৰ এটা সংখ্যা (https://royalsocietypublishing.org/toc/rsta/2020/378/2163, Volume 378, Issue 2163) প্ৰকাশ পাইছিল। বহু কথা বুজিবলৈ কঠিন হ’লেও সেই লেখাসমূহে ৰামানুজনৰ কৰ্মৰাজি বিবিধ ক্ষেত্ৰত প্ৰয়োগৰ সম্ভেদ পাঠকক প্ৰদান কৰে।

(৮৬)

।।

(৮৭)

।।

(৮৮)

।।

(৮৯)

।।

(৯০)

।।