টোকাবহী (গণিত) : ৬১ – ৭০

(৬১)

“If six people come to a party, then either there are three who know each other or three who do not. Five are not enough. I heard this problem when I was about 14 or 15; and I have never been the same person again.”

— Maria Chudnovsky

(৬২)

$\displaystyle n=\sum_{i\leq n}1.$

$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}i=\sum_{i\leq n} \sum_{j\leq i} 1 = \sum_{j\leq i\leq n}1.$

$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}i^2=\sum_{i\leq n} \sum_{a\leq i}\sum_{b\leq i} 1 = \sum_{1\leq a,b\leq i\leq n}1.$

$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}i^k=\sum_{i\leq n} \sum_{a_1\leq i}\sum_{a_2\leq i}\cdots\sum_{a_k\leq i} 1 = \sum_{1\leq a_1,a_2,\ldots,a_k\leq i\leq n}1.$

ইয়াৰ একেবাৰে তলৰ তিনিটা সমতাৰ প্ৰতিটোলৈকে ভালকৈ মন কৰিলে দেখা যায় যে ইহঁতে বীজগণিতীয় প্ৰশ্ন একোটাক বিন্যাসিক (combinatorial) প্ৰশ্নলৈ ৰূপান্তৰিত কৰিছে। প্ৰতিটোৰে সমান চিনৰ বাওঁপিনে আছে নিৰ্দিষ্ট আৰ্হিত থকা কিছুমান পদৰ যোগফল উলিওৱাৰ কথা। আনহাতে সমান চিনৰ সোঁপিনে আছে নিৰ্দিষ্ট বৈশিষ্ট্যৰে বান্ধ খাই থকা কেইটামান সংখ্যাক কিমান ধৰণে বাচি উলিয়াব পাৰি তাৰ কথা।

তথ্যসূত্ৰ: Enrique Trevi$\tilde{\text{n}}$o. A short proof of a sum of powers formula. The American Mathematical Monthly, 125(7):659–659, 2018.

(৬৩)

মাউৰিট্‌ছ কৰ্নেলিছ এশ্বাৰ, চমুকৈ এম চে এশ্বাৰ (M. C. Escher) নামেৰে বিখ্যাত শিল্পীগৰাকীৰ ‘Sky and Water I’ শীৰ্ষক এটি চিত্ৰশিল্প (woodcut print)। আন বহু প্ৰসংগৰ লগতে এই চিত্ৰখনে প্ৰতিভাত কৰিছে— দুখন পৃঠক ক্ষেত্ৰৰ পৰস্পৰ সংযোগ সীমা পৰস্পৰৰ বাবে সমতুল্য হৈ পৰাৰ এক আৰ্হি।

এশ্বাৰৰ এনে কৰ্মসমূহক গণিত আৰু কলাৰ সংস্পৰ্শ বিন্দু বুলিও অভিহিত কৰা হয়। এনেকৈও কোৱা হয় যে এশ্বাৰ গণিতজ্ঞ নহয়, তেওঁ নহয় এজন শিল্পীও, এশ্বাৰ হৈছে এশ্বাৰ। ১৯৫৪ চনত আমষ্টাৰডামত অনুষ্ঠিত ‘গণিতজ্ঞসকলৰ আন্তঃৰাষ্ট্ৰীয় সন্মিলন (ICM)’ত এশ্বাৰৰ এখনি বিশেষ চিত্ৰ-প্ৰদৰ্শনী অনুষ্ঠিত কৰা হৈছিল। সেই সময়ত এশ্বাৰ সিমান পৰিচিত নাছিল। ৰ’জাৰ পেনৰ’জৰ (Roger Penrose) দৰে গণিতজ্ঞ আৰু পদাৰ্থবিজ্ঞানী, আৰু হেৰল্ড স্কট মেকডনাল্ড কক্সেটাৰৰ (H.S.M. Coxeter) দৰে জ্যামিতিবিদে সেই প্ৰদৰ্শনীত প্ৰথমবাৰৰ বাবে এশ্বাৰৰ কৰ্মৰাজি দেখি অভিভূত হৈ পৰিছিল। দুয়োজনেই পৰৱৰ্তী সময়তো এশ্বাৰৰ সৈতে সংযোগ স্থাপন কৰিছিল।

(৬৪)

“If you go to a research seminar and someone mentions an open problem and you find it interesting, don’t just think, “Oh, well this person couldn’t solve it, so I certainly couldn’t do it.” It is often not like that. Give it a go.

If you work on a hard problem, all sorts of benefits can flow from that, even if you don’t solve it. One possible benefit applied to me when I worked on the distortion problem, which was eventually solved by other people, by the way. If I hadn’t thought very, very hard about the distortion problem, in an ultimately fruitless attempt, I wouldn’t have solved the unconditional basic sequence problem– I wouldn’t have had the ideas I built up from thinking about the distortion problem, which were crucial for the solution. …

Solving a problem is a probabilistic process. One good way of increasing your chances in research is to think quite hard about a lot of problems. If you spend a week of serious effort on 10 different problems, then the chance that at some point some little piece of luck will happen that will enable you to solve one of them is surprisingly high.

So, when you’re just starting out, you want to cultivate a general interest in mathematics and a readiness to think about things. If you just say, “My adviser has suggested this problem. I’ve got to solve this problem and there’s nothing else,” then you’re putting all of your eggs in one basket and your probability of success, while I hope that it is not zero, is smaller than it could be.”

— Timothy Gowers

“A large part of doing research is to be stuck and to be confused and to feel like one doesn’t make progress. But then, every once in a while you make progress. Then something comes out, a light turns on and that insight or feeling of discovery, of finding something new, carries with it such joy that you go back and are willing to be frustrated yet again.”

— Kannan Soundararajan

“I think there’s a lot of math in the world that’s not at university. Pure math is only one part of math but math is used in a lot of other subjects and I think that’s just as interesting. So learn as much as you can, about all the subjects around math and then see what strikes you as the most interesting.”

— Akshay Venkatesh

“I think there are many analogies between fishing and science. Two keys to success in fishing are technical expertise (e.g. how to bait a hook) and intuition (e.g. knowing where to fish). Both are easier to learn by apprenticeship than from a book. Similar considerations apply in science. But technical expertise and intuition only get you so far; you also need luck. On any given day the biggest fish might be caught by a novice rather than an expert. The same is true of scientific discovery.”

— William Kaelin (Nobel Laureate physician-scientist)

“Do mathematics for its beauty and the fun of the Eureka moment when you solve a problem. Do not be afraid of the long academic path because at every step there are multiple opportunities – math is used in so many areas in the industry besides academia, it is worth the journey.”

— Greta Panova

“Studying pure mathematics is bit like reading a book with illustrations. The images are linked to the text, but they don’t match the written word exactly.”

— Maryna Viazovska

“I have seen numerous instances of young researchers unwilling to work on a problem until they feel that they have mastered all the theory that is associated with it. I don’t work this way.”

— Richard P. Stanley

“In some sense I’m still just a kid who enjoys playing logical puzzles, but, for some reason I’ve convinced people to pay me to do this as a job. I guess at the same time there’s this idea that mathematics underlies a huge amount of how the world works. It really excites me as a challenge that you can understand something fundamental about the universe just by sitting at your desk with a piece of paper.”

— James Maynard

(৬৫)

২১৭ ৰ উৎপাদকসমূহৰ যোগফলক $a^৮$ আকাৰত প্ৰকাশ কৰিব পাৰি। উৎপাদকসমূহৰ যোগফলটো হ’ল $১+৭+৩১+২১৭=২৫৬=২^৮।$ এনেকুৱা পৰৱৰ্তী সংখ্যাটো হ’ল ৫৭৩৩৭। ইয়াৰ উৎপাদকসমূহৰ যোগফল $৬৫৫৩৬=৪^৮।$ ইয়াৰ পৰৱৰ্তী ৮৫ টা সংখ্যা আছে যাৰ উৎপাদকসমূহৰ যোগফল $৬^৮।$

(৬৬)

$\displaystyle\frac{১}{২}\times\frac{৩}{৪}\times\frac{৫}{৬}\times\cdots\times\frac{৯৯}{১০০}<\frac{১}{১০}।$

(৬৭)

$i!\bar{i!}=?$

(৬৮)

ডেনিয়েল স্পিলমেন কম্পিউটাৰ বিজ্ঞানৰ জগতত প্ৰৱেশ কৰাৰ কাহিনীটো আমোদজনক। তেওঁ মাধ্যমিক বিদ্যালয়ত থাকোঁতে পুথিভঁৰালত কম্পিউটাৰ প্ৰগ্ৰেমিং বিষয়ক এখন কিতাপ পাইছিল। সেইখন পঢ়ি তেওঁ অভিভূত হৈ পৰিছিল, এনেকুৱা লাগিছিল যেন ইয়েই আটাইতকৈ আকৰ্ষণীয় বস্তু। তাত আছিল— ৰবট একোটা কেনেকৈ প্ৰগ্ৰেম কৰা হয়, কেনেকৈ তাৰ সকলো বুনিয়াদী কাম প্ৰগ্ৰেমেৰে প্ৰস্তুত কৰা হয় সেইবোৰৰ ব্যাখ্যা। ইয়াৰ পাছত তেওঁ মাথোঁ এটা কম্পিউটাৰ আশাত বন্দী হৈছিল। তেওঁৰ মাক-দেউতাকে সন্ধান কৰি পাইছিল যে এটা পুৰণা কম্পিউটাৰ অভিযন্তা এজনে বিক্ৰী কৰিব। তেওঁলোকে সেইটো আনিলে, কিন্তু তাতোকৈ গুৰুত্বপূৰ্ণ কথাটো হ’ল— তেওঁলোকে তাৰ লগত অভিযন্তাজনৰ আলোচনী আৰু কিতাপসমূহো লাভ কৰিলে। তেওঁ তাত ডুব গ’ল। ঘণ্টাৰ পাছত ঘণ্টা তেওঁ সেইবোৰ অধ্যয়ন কৰিবলৈ ধৰিলে, প্ৰগ্ৰেমিং শিকিবলৈ ধৰিলে।

(৬৯)

এতিয়াও সমাধান নোহোৱা ‘ক’লাৎজ সমস্যা’টোৰ সম্পৰ্কত পল এয়াৰডছে কৈছিল— “গণিত এতিয়াও এনে সমস্যাৰ বাবে সাজু হৈ উঠা নাই।”

(৭০)

মুক্ত অন্তৰাল (open interval) একোটাক $]a, b[$ আৰ্হিত চিহ্নিত কৰাটো আৰম্ভ কৰিছিল বহবাকীয়ে।