টোকাবহী (গণিত) : ৪১ – ৫০

(৪১)

“মোৰ সহকৰ্মীসকলে সদায়ে মোক সহযোগিতা যোগাই আহিছে, আৰু আনকি মোৰ ক্ষেত্ৰখনৰ মাথোঁ কেইগৰাকীমান মহিলাৰ মাজৰ এগৰাকী হিচাপেও মই কোনো বৈষম্যৰ সন্মুখীন হোৱা নাই। কিন্তু মই ভাবোঁ মোৰ ওপৰত তেওঁলোকৰ কোনো প্ৰত্যয় নাছিল। তেওঁলোকৰ কোনেও ভবা নাছিল যে মই এইটো কৰিব পাৰিম।”

— প্ৰায় ৭০ বছৰ অসমাধ্য ৰূপে থকা এটা গুৰুত্বপূৰ্ণ সমস্যা সামাধান কৰা সম্পৰ্কত নীনা গুপ্তা।

(৪২)

“First rate mathematicians choose first rate people, but second rate mathematicians choose third rate people.” — André Weil

“It’s not only the question, but the way you try to solve it.” — Maryam Mirzakhani

“Structures are the weapons of the mathematician.” — Nicolas Bourbaki

“বৈজ্ঞানিক গৱেষণা কৰাটো সঁচাকৈয়ে এক বিচিত্ৰ অনুভূতি। আপুনি এজন অন্বেষণকাৰীৰ দৰে অনুভৱ কৰিব, যেন এজন শিল্পীয়ে ক্ষেত্ৰসমূহত আৰ্হি বিচাৰিবলৈ চেষ্টা কৰিছে য’ত নেকি পূৰ্বতে মানুহে বিশৃংখলতা থকা বুলিহে ভাবিছিল। সেয়েহে বিজ্ঞান কৰাটো এটা বিৰাট দুঃসাহসিক অভিযানৰ দৰে। এইটো বহু আনন্দদায়ক আৰু জগতৰ বাবেও অতি গুৰুত্বপূৰ্ণ।”

— মঞ্জুল ভাৰ্গৱ (ফিল্ডছ মেডেলিষ্ট)

(৪৩)

The problem-solver and the problem-creator

Different people have different styles of creative work. I want to discuss two different styles that I think are particularly useful in understanding the creative process. I call these the problem-solver and the problem-creator styles. They’re not really disjoint or exclusive styles of working, but rather idealizations which are useful ways of thinking about how people go about creative work.

The problem-solver: This is the person who works intensively on well-posed technical problems, often problems known (and sometimes well-known) to the entire research community in which they work. The best problem-solvers are often extremely technically proficient and hard-working. Problem-solvers often attach great social cache to the level of difficulty of the problem they solve, without necessarily worrying so much about other indicators of the importance of the problem.

The problem-creator: This is a rarer working style. Problem-creators may often write papers that are technically rather simple, but ask an interesting new question, or pose an old problem in a new way, or demonstrate a simple but fruitful connection that no-one previously realized existed.

— Michael A. Nielsen

(৪৪)

৬ ক বাদ দি যিকোনো এটা যুগ্ম নিখুঁত সংখ্যাৰ অংকবোৰ যদি যোগ কৰা হয়, তাৰ পিছত ফলাফল ৰূপে পোৱা সংখ্যাটোৰ অংকবোৰ যদি যোগ কৰা হয়, আৰু এনেদৰে কৰি গৈ থকা হয়, তেন্তে একেবাৰে শেষত যোগফলটো ১ পোৱা যায়। যেনেঃ
$৮১২৮ \rightarrow ১৯ \rightarrow ১০ \rightarrow ১।$

(৪৫)

গণিতৰ নোবেল বঁটা বুলি পৰিচিত আবেল বঁটাৰ ২০২২ বৰ্ষৰ বিজয়ীগৰাকী নিৰ্বাচনৰ পাঁচজনীয়া ‘আবেল কমিটি’খনৰ এজন সদস্য আছিল ভাৰতীয় গণিতজ্ঞ ৰমন পৰিমালা। বিশ্বৰ গণিত জগতৰ অতি সন্মানীয় এই কমিটিখনত এগৰাকী ভাৰতীয় গণিতজ্ঞ সদস্য ৰূপে থকাটো এক গৌৰৱৰ কথা। কেইবছৰমান পূৰ্বে আন এজন ভাৰতীয় গণিতজ্ঞ, ৰয়েল চ’ছাইটিৰ ফেল’ এম এছ ৰঘুনাথনো এই কমিটিৰ সদস্য আছিল। ৰমন পৰিমালা প্ৰধানকৈ বীজগণিতৰ ক্ষেত্ৰলৈ আগবঢ়োৱা অৱদানৰ বাবে পৰিচিত। ১৯৮৭ চনত তেওঁ শান্তি স্বৰূপ ভাটনাগৰ বঁটা লাভ কৰিছিল। গণিত-বিজ্ঞান শাখাত এই বঁটা বৰ্তমানলৈকে কেৱল তিনিগৰাকী মহিলাই লাভ কৰিছে। আন দুগৰাকী হৈছে সুজাথা ৰামদৰাই আৰু নীনা গুপ্তা। সুজাথা ৰামদৰাইয়ে ৰমন পৰিমালাৰ তত্ত্বাৱধানত ডক্টৰেট ডিগ্ৰী লাভ কৰিছিল।

(৪৬)

যদি $(F_n)_{n\geq১}$ ফিব’নাচ্চি অনুক্ৰম, য’ত $F_১=F_২=১$, তেন্তে

$\begin{pmatrix} ১ & ১\\ ১ & ০ \end{pmatrix}^{n+১} = \begin{pmatrix} F_{n+২} & F_{n+১}\\ F_{n+১} & F_{n} \end{pmatrix}।$

আকৌ,

$\begin{pmatrix} ১ & ১\\ ১ & ০ \end{pmatrix}^{n-১} \begin{pmatrix} G_৩ & G_২\\ G_২ & G_১ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} G_{n+২} & G_{n+১}\\ G_{n+১} & G_n \end{pmatrix},$

য’ত $(G_n)_{n\geq১}$ হ’ল ফিব’নাচ্চি অনুক্ৰমৰ এটা সাধাৰণীকৰণ, যাক জিব’নাচ্চি (Gibonacci) অনুক্ৰম বুলি কোৱা হয়। ইয়াত, $G_১$ আৰু $G_২$ যিকোনো ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা, আৰু ২ তকৈ ডাঙৰ সকলো $n$ ৰ বাবে $G_n=G_{n-১}+G_{n-২}$।

এই অনুক্ৰম দুটাক তলৰ সৰল অভেদটোৰে সংযুক্ত কৰিব পাৰি

$G_n= F_{n-১}G_২+F_{n-২}G_১, \text{ য’ত} \ n>২।$

(৪৭)

“Everyone believes that mathematics is a dry, boring science, relying only on the ability to count. This is ridiculous. Numbers in mathematics play the most insignificant, the last role. Maths is the purest philosophical area, the science of the greatest poets… I don’t know how to count at all; you know yourself that many of my students count better than me. I often get confused when solving some numerical problem, and if I were taking an exam, let’s say, with Pauker, he would give me zero. And yet I am still a mathematician, and Pauker is not.”

— Mikhail Ostrogradsky (1801 – 1862)

(৪৮)

ইউক্লিডে ‘এলিমেণ্টছ’ ৰচনা কৰাৰ দুহেজাৰ বছৰৰ পাছত ডেকাৰ্টে স্থানাংক জ্যামিতিৰ বিকাশ সাধন কৰিছিল। সেই দুহেজাৰ বছৰটোত কিবা নতুন চিন্তা হ’ল নে, কি কি নতুন ধাৰা সৃষ্টি হ’ল, বা সেই গোটেইখিনি এক স্থবিৰ সময় নেকি —  এয়া এক গুৰুত্বপূৰ্ণ প্ৰশ্ন। ইয়াৰ সৰল উত্তৰটো নিশ্চয় হ’ব— ইউক্লিডে তৈয়াৰ কৰা ধাৰাটোতকৈ বৰ বেছি একো নহ’ল।

ডেকাৰ্টেৰ নতুন বিষয়টোৱে জ্যামিতি আৰু বীজগণিতৰ মাজত সংযোগ স্থাপন কৰিলে। এইটো আছিল ইউক্লিডৰ পাছৰ এটা বৃহৎ জাপ। কিন্তু দূৰ অতীতৰ পৰা আহি থকা বহু প্ৰশ্নৰ উত্তৰ এই সংযোগেও দিব নোৱাৰিলে।

ইউক্লিডৰ কালত এক ধাৰণা আছিল যে— পূৰ্ণ হৈছে অংশতকৈ ডাঙৰ। দাৰ্শনিক ভাৱধাৰা, মনঃস্তাত্ত্বিক চিন্তাধাৰাতো এই কথাষাৰে ক্ৰিয়া কৰি আছিল। Peter Lynch নামৰ এজন গণিতজ্ঞ আৰু লেখকে লিখিছে যে এই কথাষাৰ সন্দেহৰ দৃষ্টিৰে চোৱা প্ৰথমসকলৰ মাজত এজন আছিল গেলিলিঅ’। গেলিলিঅ’ আছিল ডেকাৰ্টেৰ প্ৰায় সমসাময়িক।

লেখকগৰাকীয়ে লিখা মতে, গেলিলিঅ’ৱে যুগ্ম সংখ্যাৰ পৰিমাণ আৰু স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ পৰিমাণ সমান বুলি কৈছিল। আকৌ সেইদৰেই, যুগ্ম সংখ্যাৰ পৰিমাণ আৰু অযুগ্ম সংখ্যাৰ পৰিমাণো সমান। কিন্তু, যুগ্ম সংখ্যাসমূহ বা অযুগ্ম সংখ্যাসমূহ হৈছে স্বাভাৱিক সংখ্যাৰে অংশ। গেলিলিঅ’ই এনেকুৱা আন কিছুমান কথাও ব্যক্ত কৰিছিল। কিন্তু তেওঁ ইউক্লিডৰ দিনৰ সেই কথাষাৰক চূড়ান্ত প্ৰত্যাহ্বান জনাবলৈ সক্ষম নহ’ল। এনেদৰেই গেলিলিঅ’ই এক প্ৰকাণ্ড আৱিষ্কাৰৰ প্ৰান্তত উপনীত হৈছিলগৈ, কিন্তু নিজৰ ধাৰণাখিনিৰ বিকাশ সাধন কৰিব নোৱাৰিলে। তাৰ প্ৰায় তিনিশ বছৰ পাছত জৰ্জ কেণ্টৰে সংহতি তত্ত্বৰ জন্ম দি সেয়া প্ৰমাণ কৰিলে। অসীম সংহতিয়ে নিজৰে অংশৰ সৈতে একৈকী সংগগতা (one-to-one) ৰূপত থাকিবও পাৰে, সেয়া তেওঁ প্ৰতিষ্ঠা কৰিলে।

(৪৯)

যদি $\displaystyle A=১+\sum_{k=১}^{\infty}a_kx^k,$ য’ত সমূহ $a_k$ অখণ্ড সংখ্যা, তেন্তে আন এটা শ্ৰেণী $\displaystyle B=১+\sum_{k=১}^{\infty}b_kx^k$ পোৱা যাব, য’ত সমূহ $b_k$ অখণ্ড সংখ্যা, যাৰ বাবে $AB=১।$

(৫০)

গাণিতিক প্ৰমাণ

প্ৰায় চল্লিছ বছৰ ধৰি সমাধানহীন হৈ থকা ‘strong perfect graph theorem’ নামেৰে পৰিচিত উপপাদ্যটো একবিংশ শতিকাৰ আৰম্ভণিতে মাৰিয়া চুনভস্কিয়ে (Maria Chudnovsky) তিনিজন সহযোগীৰ সৈতে প্ৰমাণ কৰিছিল। সেইটো প্ৰমাণ কৰি তেওঁলোক চাৰিজনে লিখা গৱেষণা-পত্ৰখন ১৭৯ পৃষ্ঠাৰ। এখন জাৰ্নেললৈ গৱেষণা-পত্ৰখন প্ৰেৰণ কৰাৰ পাছত প্ৰায় পাঁচ বছৰ ধৰি peer review প্ৰক্ৰিয়াত থকাৰ অন্তত সেইখন প্ৰকাশৰ বাবে গ্ৰহণ কৰা হয়। ইয়াৰ বাহিৰেও আন বহুতো কামৰ পৰিপ্ৰেক্ষিতত মাৰিয়াই ফিল্ডছ মেডেল পালেহেঁতেন নেকি বুলি কোনো কোনোৱে আলোচনা কৰিছিল।

বাংগালুৰুস্থিত টাটা মৌলিক গৱেষণা প্ৰতিষ্ঠানৰ (TIFR) অধীনৰ এটা প্ৰতিষ্ঠান হৈছে International Centre for Theoretical Sciences (ICTS)। কেন্দ্ৰটিয়ে কেইমাহমানৰ মূৰে মূৰে এখনি সংবাদ-পত্ৰিকা প্ৰকাশ কৰিবলৈ আৰম্ভ কৰিছে। ২০১৬ চনৰ এটা সংখ্যাত তেওঁলোকে মাৰিয়া চুনভস্কিৰ এটা সাক্ষাৎকাৰ লয়। মাৰিয়াই তেওঁৰ সহ-লেখককেইজনৰ সৈতে দাঙি ধৰা প্ৰমাণটোৰ শুদ্ধতাৰ সম্পৰ্কে নিজে কিমান নিশ্চিত আছিল, সেই সম্পৰ্কে সাক্ষাৎকাৰটোত সোধা হৈছিল। ইয়াৰ উত্তৰত মাৰিয়াই কৈছিল যে—

“ইমান দীঘল এটা প্ৰমাণৰ ক্ষেত্ৰত, এশ শতাংশই নিশ্চিত হোৱাটো সদায়ে কঠিন। আপুনি পৰীক্ষাৰ পাছত পৰীক্ষা কৰি থাকিল। আপুনি সন্দিহান হোৱা স্থানসমূহ পৰীক্ষা কৰিলে, তাৰ পাছত গোটেইখিনি কৰিলে, পুনৰ সন্দেহজনক স্থানবোৰ কৰিলে… আৰু ফলত আপুনি যথেষ্ট আত্মবিশ্বাসী হ’ল, আৰু আপুনি বক্তৃতা দিয়া আৰম্ভ কৰিলে। এইটো এটা ভাল পৰীক্ষা, কিয়নো আপোনাৰ যুক্তিসমূহ হঠাতে শ শ নতুন লোকৰ দ্বাৰা অনুসৰণ কৰা হৈছে, যাৰ মনত আপোনাৰ থকা পূৰ্বনিৰ্ধাৰিত ধাৰণাসমূহ নাই। তাৰ পাছত গৱেষণা-পত্ৰখন প্ৰকাশ হ’ল আৰু মানুহে অধিক বিষদভাবে পঢ়া আৰু পৰীক্ষা কৰা আৰম্ভ কৰিলে। বিবেচিত হয় যে এইটো এটা মানুহে গুৰুত্ব দিবলগীয়া তাৎপৰ্যপূৰ্ণ সমস্যা, মই ভাবোঁ যদি কোনো খুঁত আছিল, এতিয়ালৈকে তাক বিচাৰি পোৱা গ’লহেঁতেন।”

অন্য সময়ত মাৰিয়াই কৈছিল—

“গণিতৰ সম্পৰ্কীয় সৰ্বশ্ৰেষ্ঠ কথাসমূহৰ এটা হ’ল এই যে ই আপোনাক স্পষ্টভাবে চিন্তা কৰিবলৈ শিকায়, আপুনি যিয়েই চিন্তা নকৰক কিয়।”