টোকাবহী (গণিত) : ১১ – ২০

(১১)

“ৰূপকথাবোৰক ৰূপকথা হিচাপেই শিকোৱা উচিত, পৌৰাণিক কথাবোৰক পৌৰাণিক কথা হিচাপে, আৰু ৰহস্য-কথাবোৰক কাব্যিক কল্পনা হিচাপে। কুসংস্কাৰ-অন্ধবিশ্বাসবোৰক সত্য বুলি শিকোৱাটো এটা অতি ভয়ানক কথা। শিশু-মনে সেইবোৰ গ্ৰহণ কৰি লয় আৰু সত্য বুলি তেওঁলোকে বিশ্বাস কৰিবলৈ লয়। আৰু মাথোঁ বিৰাট কষ্ট আৰু হয়তো পৰিহাসৰ অন্তত বহু বছৰৰ মূৰত এইবোৰৰ পৰা মুক্ত হ’বলৈ সক্ষম হ’ব পাৰে।”

— হাইপেছিয়া

হাইপেছিয়াক বিশ্বৰ প্ৰথমগৰাকী পৰিচিত মহিলা গণিতজ্ঞ বুলি কোৱা হয়। তেওঁৰ আছিল একাধাৰে বিজ্ঞানী, দাৰ্শনিক, উদ্ভাৱক। হাইপেছিয়াৰ দেউতাক আছিল তেতিয়াৰ এগৰাকী গণিতজ্ঞ আৰু জ্যোতিৰ্বিদ। দেউতাকে ইউক্লিডৰ “এলিমেণ্টছ্‌”খন সংৰক্ষণৰ চেষ্টা কৰিছিল আৰু বিবিধ গ্ৰন্থৰ ব্যাখ্যা লিখিছিল। হাইপেছিয়াই এই কৰ্মবোৰো আগবঢ়াই নিছিল। হাইপেছিয়াক হত্যা কৰা হৈছিল নৃশংসতাৰে।

(১২)

“I hope to wake up one day in a world where all mathematics books and journals are electronic and free to download by anyone in the world. I learned of this dream from my former Bell Labs mentor Andrew Odlyzko back in 1995 and became a firm believer.”

— Igor Pak

(১৩)

২০০০০০০০০০০০০০

* বিছ লাখ কোটি, অৰ্থাৎ ২০০০০০০০০০০০০০ ত ১৪ টা অংক আছে। অৰ্থাৎ, ২ ৰ পিঠিত ১৩ টা শূন্য আছে।

* ইয়াৰ পৰা তিনি বিয়োগ কৰিলে পোৱা সংখ্যাটো মৌলিক সংখ্যা।

* ইয়াক দ্বৈত প্ৰণালীত প্ৰকাশ কৰিলে ১৪ টা ১ অংক ৰূপে থাকে।

* এই সংখ্যাটোক প্ৰচলিত সৰ্বোচ্চ এককৰ সহায়ত ইংৰাজীত যিটো নাম পোৱা যায়, তাত থকা আখৰৰ পৰিমাণ সংখ্যাটোত থকা অংকৰ পৰিমাণৰ সমান। অৰ্থাৎ, ইংৰাজীত এই সংখ্যাটোক twenty trillion বুলি ক’ব পাৰি, আৰু twenty trillion ত আখৰ আছে ১৪ টা। এই সংখ্যাটো হৈছে এনেধৰণৰ ১৩ তম সংখ্যা। এনেকুৱা আটাইতকৈ সৰু সংখ্যাটো হৈছে এশ কোটি, মানে one billion.

* ২০০০০০০০০০০০০০ তম ত্ৰিভুজীয় সংখ্যাটোৱেই হৈছে আটাইতকৈ সৰু ত্ৰিভুজীয় সংখ্যা য’ত ২৫ টা শূন্য অংক ৰূপে আছে।

* প্ৰতিটো মানৱ দেহত প্ৰায় ২০০০০০০০০০০০০০ লোহিত ৰক্ত কণিকা থাকে।

* ইয়াক দহেৰে হৰণ কৰি তিনি যোগ কৰিলে এটা মৌলিক সংখ্যা পোৱা যায়। * ইয়াক দহেৰে পূৰণ কৰি তিনি বিয়োগ কৰিলে এটা মৌলিক সংখ্যা পোৱা যায়।

(১৪)

“সমমিতি হ’ল মানৱ মনৰ বাবে মুগ্ধকৰ, আৰু কিবা প্ৰকাৰে সমমিতি ৰূপত থকা বস্তুবোৰ বা কাৰুকাৰ্যবোৰ সকলোৱেই ভাল পায়। এয়া এক আকৰ্ষণীয় কথা যে প্ৰকৃতিয়ে প্ৰায়ে আমাৰ চাৰিওফালৰ জগতখনত পোৱা বস্তুবোৰত কোনো প্ৰকাৰৰ সমমিতি দেখুৱায়। বোধহয়, মানুহৰ কল্পনাক্ষম আটাইতকৈ প্ৰতিসম (symmetrical) বস্তুটো হৈছে গোলক, আৰু বিশ্বপ্ৰকৃতি গোলকেৰে পৰিপূৰ্ণ হৈ আছে— তৰাবোৰ, গ্ৰহবোৰ, মেঘমণ্ডলত পানীৰ টোপালবোৰ। শিলৰ মাজত পোৱা স্ফটিকবোৰে বহু বিবিধ প্ৰকাৰৰ সমমিতিৰ নমুনা দেখুৱায়, যাৰ অধ্যয়নে আমাক কঠিন পদাৰ্থৰ গঠনৰ বিষয়ে কিছুমান গুৰুত্বপূৰ্ণ কথা কয়। আনকি পশু-পখী আৰু শাক-পাচলিৰ জগতবোৰেও কিছু মাত্ৰাৰ সমমিতি দেখুৱায়, যদিও ফুল বা মৌমাখিৰ সমমিতি স্ফটিকৰ দৰে নিখুঁত বা মৌলিক নহয়।”

— ৰিচাৰ্ড ফিলিপছ ফাইনমেন

(১৫)

“মই প্ৰয়োগৰ খাতিৰত গণিতত সঁচাকৈয়ে আগ্ৰহী নহয়। গণিতত মোক যিয়ে আগ্ৰহী কৰে সেইটো হৈছে গণিত। যদিহে ই বাস্তৱ পৃথিৱীৰ কিবা এটা ভালদৰে বুজিবলৈ সহায় কৰে, তেন্তে এয়া বৰ ভাল কথা। কিন্তু মই গণিতৰ কোনো অংশ আয়ত্ব কৰি অতি আনন্দিত হওঁ স্বয়ং তাৰ পৰাই।”

— মাৰ্টিন হেইৰৰ

২০১৪ চনত ফিল্ডছ্ মেডেল বিজয়ী গণিতজ্ঞ।

(১৬)

সংখ্যা একোটাৰ অংকবোৰৰ যোগফলটো ৩ ৰে হৰণ গ’লে সংখ্যাটোকো ৩ ৰে হৰণ যায়। সেইদৰে, অংকবোৰৰ যোগফলটো ৯ ৰে হৰণ গ’লে সংখ্যাটোকো ৯ ৰে হৰণ যায়।

ইয়াৰ ওলোটা (converse) উক্তি মতেও আমি পাওঁ যে সংখ্যা একোটাক ৩ ৰে হৰণ গ’লে তাৰ অংকবোৰৰ যোগফলটোকো ৩ ৰে হৰণ যাব। সেইদৰে, সংখ্যাটোক ৯ ৰে হৰণ গ’লে তাৰ অংকবোৰৰ যোগফলটোকো ৯ ৰে হৰণ যাব।

কিন্তু, ২৭ আৰু ৮১ ৰ ক্ষেত্ৰত এই কথা সদায় শুদ্ধ নহয়।

* ৩৯৭৮ সংখ্যাটোৰ অংককেইটাৰ যোগফলক ২৭ ৰে হৰণ যায়, কিন্তু ৩৯৭৮ ক ২৭ ৰে হৰণ নাযায়।

* ৫৪ সংখ্যাটোক ২৭ ৰে হৰণ যায়, কিন্তু ইয়াৰ অংককেইটাৰ যোগফল হৈছে ৯ যাক ২৭ ৰে হৰণ নাযায়।

* ১৯৯৮ সংখ্যাটোক ২৭ ৰে হৰণ যায়, আৰু ইয়াৰ অংককেইটাৰ যোগফলকো ২৭ ৰে হৰণ যায়।

* ৮৮৮৮৮৮৮৮৮৮১ সংখ্যাটোৰ অংককেইটাৰ যোগফল ৮১। ৮১ ক ৮১ ৰে হৰণ যায়। কিন্তু ৮৮৮৮৮৮৮৮৮৮১ ক ৮১ ৰে হৰণ নাযায়।

* ২৪৩ সংখ্যাটোক ৮১ ৰে হৰণ যায়। কিন্তু ২৪৩ ৰ অংককেইটাৰ যোগফল হৈছে ৯ যাক ৮১ ৰে হৰণ নাযায়।

* ১১………১১ হ’ল ৮১ টা ১ ৰে গঠিত সংখ্যা৷ ইয়াক ৮১ ৰে হৰণ যায়, আৰু ইয়াৰ অংককেইটাৰ যোগফলকো ৮১ ৰে হৰণ যায়।

**** সংখ্যা এটাৰ এককৰ ঘৰৰ অংকটোক ৮ ৰে পূৰণ কৰি সংখ্যাটোৰ বাকী অংশৰ পৰা পূৰণফলটো বিয়োগ কৰক। বিয়োগফলটো যদি ২৭ ৰে হৰণ যায় তেন্তে সংখ্যাটোৱো ২৭ ৰে হৰণ যাব। আৰু বিয়োগফলটো যদি ৮১ ৰে হৰণ যায় তেন্তে সংখ্যাটোৱো ৮১ ৰে হৰণ যাব। এইকেইটাৰ ওলোটা উক্তিটোৱো সত্য।

(১৭)

“ৰামানুজনৰ উদ্যানলৈ মোৰ পৰৱৰ্তী আগমনটো ঘটিছিল ১৯৪৩ চনত। সেই সময়লৈ মই কেম্ব্ৰিজ ত্যাগ কৰিছিলোঁ আৰু ৰয়েল এয়াৰ ফ’ৰ্চৰ (Royal Air Force) বাবে এজন পৰিসংখ্যাবিদ হিচাপে কাম কৰি আছিলোঁ। হাৰ্ডি তেতিয়া লণ্ডন গাণিতিক সমিতিৰ (London Mathematical Society) সচিব আছিল, যাৰ বাবে তেওঁ সমিতিখনৰ গৱেষণা-পত্ৰিকাখনৰ সম্পাদকো আছিল। তেতিয়া ইংলেণ্ডত গণিত অৱনতিৰ এটা অতি নিম্ন স্তৰত আছিল। সকলো যুৱ গণিতজ্ঞয়েই কিবা নহয় কিবা এটা প্ৰকাৰে যুদ্ধত জড়িত আছিল। তেওঁলোকৰ বেছিভাগেই ব্লেট্‌ছ্‌লিৰ (Bletchley) ক্ৰিপ্টোগ্ৰাফিক প্ৰতিষ্ঠানখনত অন্তৰ্ধান হৈ পৰিছিল, যিটো আছিল এটা কৃষ্ণ-গহ্বৰৰ দৰে। মানুহবোৰ ব্লেট্‌ছ্‌লিলৈ গৈছিল আৰু তেওঁলোকক পুনৰ কেতিয়াও দেখা নগৈছিল। মই সেই কম সংখ্যকৰ মাজৰ এজন আছিলোঁ যি ব্লেট্‌ছ্‌লিত নাছিলোঁ। তুলনামূলকভাৱে সহজে পাব পৰা অৱস্থাত মই আছিলোঁ, আৰু হাৰ্ডিয়ে জানিছিল যে ৰ’জাৰছ-ৰামানুজন অভেদসমূহত (Rogers-Ramanujan identities) মোৰ ৰাপ আছে। সেয়েহে তেওঁ মোলৈ এখন গৱেষণা-পত্ৰ পৰ্য্যালোচনাৰ (referee) বাবে পঠিয়াই দিছিল। সেই গৱেষণা-পত্ৰখন লিখিছিল ডব্লিউ. এন. বেইলিয়ে (W. N. Bailey) আৰু তাত ৰ’জাৰছ-ৰামানুজনৰ ধৰণৰ অভেদ কিছুমান নিৰ্ণয় কৰাৰ নতুন পদ্ধতি এটাৰ কথা আছিল। কিছু উন্নতকৰণৰ পৰামৰ্শ দি, সেইখন প্ৰকাশৰ বাবে অনুমোদন জনাই মই হাৰ্ডিলৈ লিখিলোঁ। হাৰ্ডিয়ে ভাবিলে যে ৰ’জাৰছ-ৰামানুজন অভেদসমূহত গভীৰ ৰাপ থকা ইংলেণ্ডৰ কেৱল দুজনেই মানুহ পৰস্পৰ বিচ্ছিন্ন হৈ থকাটো অবান্তৰ কথা। সেয়েহে পৰ্য্যালোচকৰ নাম অপ্ৰকাশিত কৰি ৰখাৰ নিয়মটো তেওঁ সুবিবেচনাৰে ভাঙি পেলালে। মোৰ পৰ্য্যালোচনাটো তেওঁ বেইলিলৈ মোৰ নামৰ সৈতে পঠিয়াই দিলে। লগে লগেই বেইলিয়ে মোৰ লগত যোগাযোগ কৰিলে, আৰু আমি প্ৰায়ে অভেদসমূহ চৰ্চা কৰিবলৈ ধৰিলোঁ যেতিয়া নেকি বেইলিয়ে অভেদসমূহ নিৰ্ণয় কৰাৰ তেওঁৰ চূড়ান্ত আৰু অত্যন্ত প্ৰভাৱশালী বেইলি যুগ্ম (Bailey Pair) পদ্ধতি বিকশিত কৰিছিল। যুদ্ধকালীন কাগজৰ অভাৱৰ বাবে, মই পৰ্য্যালোচনা কৰা গৱেষণা-পত্ৰখন ১৯৪৭ চন পৰ্য্যন্ত ছপা হোৱা নাছিল, আৰু “বেইলি যুগ্ম” গৱেষণা-পত্ৰখন ১৯৪৯ পৰ্য্যন্ত ছপা হোৱা নাছিল। কিন্তু বেইলিৰ অসাধাৰণ কৰ্মটি ১৯৪৩-৪৪ ৰ শীতকালতেই সম্পন্ন হৈছিল, আৰু I was lucky to be acting then as his sounding-board. মই বেইলিক কেতিয়াও লগ নাপালোঁ। সেই মাহসমূহত, তেওঁ আছিল মানচেষ্টাত (Manchester) আৰু মই আছিলোঁ বাকিংহামশ্বেৰৰ (Buckinghamshire) এখন জংঘলৰ মাজত অৱস্থিত Royal Air Force Bomber Commandৰ মুখ্য-কাৰ্যালয়ত।

এটা দীঘলীয়া, কঠিন, ভয়াৱহ শীতকাল আছিল সেয়া। Bomber Commandত মই প্ৰতি সপ্তাহত ষাঠি ঘণ্টাকৈ কাম কৰিছিলোঁ। বোমাৰু হানিসমূহ, যিসমূহ মই বিশ্লেষণ কৰিবলগা হৈছিল, সেয়া অবিচ্ছিন্নভাৱে বাঢ়ি গৈছিল। যুদ্ধখনৰ সমাপ্তি কাণিমুনিকৈয়ো দেখা নগৈছিল। সেই শীতকালৰ সন্ধিয়াবোৰত মই ৰামানুজনৰ নন্দন-কাননত বিচৰণ কৰি নিজকে প্ৰকৃতিষ্ঠ কৰি ৰাখিছিলোঁ — বেইলিৰ পৰা মই পাই থকা চিঠিবোৰ পঢ়ি, বেইলিৰ ধাৰণাবোৰৰ মাধ্যমেৰে কাম কৰি আৰু মোৰ নিজৰ নতুন ৰ’জাৰছ-ৰামানুজন অভেদসমূহত আৱিষ্কাৰ কৰি। মই এইধৰণৰ বহুতো অভেদ নিৰ্ণয় কৰিছিলোঁ যিবোৰ ৰামানুজনে উপভোগ কৰিলেহেঁতেন। তাৰে এইটো মোৰ প্ৰিয় আছিলঃ

${\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}x^{n^2+n}\frac{(1+x+x^2)(1+x^2+x^4)\cdots(1+x^n+x^{2n})}{(1-x)(1-x^2)\cdots(1-x^{2n+1})}=\prod_{n=1}^{\infty}\frac{(1-x^{9n})}{(1-x^n)}.}$

প্ৰচণ্ড শীতল, অন্ধকাৰ সন্ধিয়াবোৰত, যেতিয়া মই ১৯৪৪ চনৰ মৃত্যু আৰু ধ্বংসৰ মাজত এই সুন্দৰ অভেদবোৰ লিপিবদ্ধ কৰি আছিলোঁ, মই ৰামানুজনৰ সৈতে নিবিড়তা অনুভৱ কৰিছিলোঁ। ১৯১৭ চনৰ মৃত্যু আৰু ধ্বংসৰ মাজত তেওঁ তাতোকৈ অধিক সুন্দৰ অভেদবোৰ লিপিবদ্ধ কৰি আছিল।”

— এই কথাখিনি লিখিছিল পদাৰ্থবিজ্ঞানী, গণিতজ্ঞ ফ্ৰীমেন ডাইছনে; তেওঁৰ “A walk through Ramanujan’s Garden” নামৰ দীঘল আৰু বিখ্যাত প্ৰবন্ধটোত। বক্তৃতাৰূপে আগবঢ়োৱা যিটো প্ৰবন্ধ “Ramanujan Revisited: Proceedings of the Centenary Conference, University of Illinois at Urbana-Champaign, June 1-5, 1987”ত প্ৰকাশ হৈছিল। পিছলৈ “Ramanujan: Essays and Surveys” নামৰ কিতাপখনতো প্ৰবন্ধটো সন্নিবিষ্ট হৈছিল। ডাইছনে একেধৰণৰ শিৰোনামেৰে আন এজন গণিতজ্ঞৰ উদ্যানৰ কাহিনীও লিখিছিল। “A walk through Ramanujan’s Garden”ৰ একেবাৰে শেষত ডাইছনে লিখিছিল যে—

“যেতিয়াই মই ক্ৰোধান্বিত হওঁ বা হতাশাত ভোগো, মই ৰামানুজনৰ গৱেষণা-পত্ৰৰ সংকলনখন শ্বেল্ফৰ পৰা নমাই আনো আৰু ৰামানুজনৰ উদ্যানত শান্তভাৱে এপাক ঘূৰি আহোঁ। মূৰ কামোৰণি বা স্নায়ৱিক গণ্ডগোলত ভোগা সকলোকে মই এই থেৰাপিটো recommend কৰিছোঁ। আৰু ৰামানুজনৰ গৱেষণা-পত্ৰবোৰ কেৱল যে মূৰ কামোৰণিৰে ভাল চিকিৎসা এনে নহয়; সেইবোৰ সুন্দৰ ধাৰণাৰেও পৰিপূৰ্ণ যি আপোনাক অধিক আকৰ্ষণীয় গণিতিক কৰ্ম সম্পাদনত সহায় কৰিব পাৰে।”

(১৮)

কাগজত অসমৰ মেপ এখন আঁকি লৈ অসমৰ মাটিৰ কোনোবা এঠাইত পাৰি দিয়ক। তেতিয়া মেপখনত এনেকুৱা এটা বিন্দু পোৱা যাব, যিটো বিন্দু সি প্ৰকাশ কৰা ভূমিৰ একদম সঠিক বিন্দুটোত লগ লাগি আছে।

(বীজগণিতীয় সংস্থিতি বিজ্ঞানৰ এজন বিশেষজ্ঞ এলেন য়ুৱানৰ একেধৰণৰ এষাৰ কথাৰ আলমত।)

(১৯)

স্বাভাৱিক সংখ্যা একোটাৰ উৎপাদকসমূহক ভৰ বুলি ধৰি লৈ সেইসমূহ দগা-পাল্লা এখনৰ দুয়োপিনে উঠাই দিব পাৰি। যেনে: ৪ ৰ উৎপাদকসমূহ হ’ল ১, ২, ৪। গতিকে ৪ ৰ পৰা পোৱা ভৰ তিনিটা। আৰু সেইকেইটা হ’ল ১, ২, আৰু ৪ একক।

এতিয়া দগা-পাল্লাৰ পাল্লা দুখনত ভৰবোৰ এনেকৈ উঠাব লাগে যাতে, দুয়োপিনে সমান ভৰ হৈ থাকে।

এনেকৈ দুয়োপিনে সমান ভৰ দিব পৰা আটাইতকৈ সৰু সংখ্যাটো হ’ল ৬। কাৰণ, ৬ ৰ উৎপাদকসমূহ হ’ল: ১, ২, ৩, ৬। গতিকে পাল্লাৰ এফালে ১, ২, ৩ উঠাব পাৰি; আৰু আনফালে ৬ উঠাব পাৰি।

এনেকুৱা দ্বিতীয় সংখ্যাটো হৈছে ১২, আৰু তৃতীয় সংখ্যাটো ২০। ১২ ৰ বাবে এপিনে ২, ১২, আৰু আনপিনে ১, ৩, ৪, ৬ ৰাখিলে, সমান সমান ভৰ পোৱা যাব। ২০ ৰ বাবে এপিনে ১, ২০, আৰু আনপিনে ২, ৪, ৫, ১০ ৰাখিব পাৰি।

৬, ১২, আৰু ২০ যে এনেকুৱা প্ৰথম তিনিটা ক্ৰমিক সংখ্যা, সেই কথা ২১ তকৈ সৰু স্বাভাৱিক সংখ্যাকেইটাৰ বাবে পৰীক্ষা কৰি চালেও সহজে প্ৰমাণ পাব পাৰি।

কিন্তু দগা-পাল্লাত যদি তিনিখন পাল্লা থাকে, আৰু আমি তিনিওখন পাল্লাত সমান ভৰ পাব বিচাৰিছোঁ, তেন্তে তাৰ বাবে কোনবোৰ সংখ্যা ল’ব লাগিব? এনেকৈ তিনিওখন পাল্লাত সমান ভৰ পাবলৈ হ’লে আটাইতকৈ সৰু সংখ্যাটো হ’ল ১২০। এই ক্ষেত্ৰত এখন পাল্লাত ভৰ ২০, ৪০, ৬০, আৰু আন এখনত ১২০ ৰাখিব পাৰি। আৰু তেতিয়া তৃতীয়খনত বাকী থকা এইখিনি ভৰ ৰাখিব লাগিব: ১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬, ৮, ১০, ১২, ১৫, ২৪, ৩০।

যদি চাৰিখন পাল্লা থাকে? এই ক্ষেত্ৰত আটাইতকৈ সৰু সংখ্যাটো হ’ল ২৭৭২০। 

গাণিতিকভাৱে ক’বলৈ গ’লে, সংখ্যা একোটাৰ উৎপাদকসমূহক এনেকৈ ভাগ কৰিব লাগে যাতে, কেউটা ভাগত থকা উৎপাদকসমূহৰ যোগফল সমান হয়।

যদি দগা-পাল্লাখনত পাঁচখন, ছখন, সাতখন, বা তাতকৈয়ো অধিক পাল্লা থাকে?

পাঁচখন পাল্লা থাকিলে আটাইতকৈ সৰু সংখ্যাটো হ’ল ১৪৭০২৬৮৮০।

ছয়খনৰ ক্ষেত্ৰত আটাইতকৈ সৰু সংখ্যাটো ১৩০৪২৯০১৫৫১৬৮০০।

সাতখনৰ ক্ষেত্ৰত আটাইতকৈ সৰু সংখ্যাটো ১৯৭০৯৯২৩০৪৭০০৪৫৩৯০৫২৭০৪০০।

আঠখনৰ ক্ষেত্ৰত আটাইতকৈ সৰু সংখ্যাটো ১৮৯৭৫৪৪২৩৩০৫৬০৯২১৬২০০৩৮০৬৭৫৮৬৫১৭৯৮৭৭৭২১৬০০০।

কিন্তু, ৯ খন বা তাতকৈ অধিক পাল্লা থাকিলে আটাইতকৈ সৰু সংখ্যাটো কি হ’ব, তাৰ প্ৰমাণ এতিয়া ওলোৱা নাই।

(২০)

Symmetry শব্দটো এক ধৰণৰ সমমিতি (symmetry) ৰূপত অঁকাৰ এটা আৰ্হি হ’ল:

এইটো ১৮০ ডিগ্ৰী ঘূৰাই দিলে একেটা ৰূপেই পোৱা যাব। এনেদৰে শব্দ একোটাক কিছুমান বিশেষ বৈশিষ্টপূৰ্ণ ৰূপ দি অংকণ কৰা ৰূপক এম্বিগ্ৰাম (ambigram) বুলি কোৱা হয়। ওপৰৰ উদাহৰণটো হৈছে এটা সমমিতীয় এম্বিগ্ৰাম। ambigram শব্দটোৰ নিজৰে এটা সমমিতীয় এম্বিগ্ৰাম হ’ল: