Logৰ লগ
হাইস্কুলত ছাত্ৰ-ছাত্ৰীয়ে logarithm বা log ৰ বিষয়ে অলপ শিকিবলৈ পায়। আমি উচ্চ গণিতত পাইছিলো, আৰু পাঠটো আৰম্ভ কৰা দিনা প্ৰথমেই ছাৰে এটা উদাহৰণ দি লৈছিল যে \text{২}^\text{৩}=\text{৮}, আৰু ইয়াৰ বিপৰীতে এই কথাটোকে log ত বুজোৱা হ’ব এনেদৰে: \log_\text{২}\text{৮}=\text{৩}। ইয়াত ২ টোক ভূমি বা আধাৰ বুলি কয়। ছাৰে প্ৰথমেই দিয়া উদাহৰণটো মনত ৰৈ গ’ল, আৰু এইটো পিছত কামত আহিছিল।
যি কি নহওক, ছাত্ৰ-ছাত্ৰীয়ে হাইস্কুলত ১০-১৫ নম্বৰ মানৰ log জনাৰ পিছত আকৌ এবাৰ log টো হায়াৰ ছেকেণ্ডাৰীত ওলায়। সেইটো log হ’ল ১ বা ৩ নম্বৰৰ। কলন গণিতত (calculus) সেইটোৱে অকণমান দেখা দিয়ে, যে \log x ৰ অৱকলজ (derivative) \frac{\text{১}}{x} হয়; (ভূমিৰ কথা সুকীয়া)।
তাৰ পিছত, ক’ৰনা-কালত নহা অতিথিৰ দৰে log ৰ কোনোদিন দেখাদেখি নাই। বছৰৰ পিছত বছৰ পাৰ হৈ যায়, log ক দেখা পোৱা নাযায়। কেতিয়াবা ভুৰুংকৈ সমুখতে অকণমান সময়ৰ বাবে ওলালে যদিহে ভালকৈ চিনিব পৰা নাযায়, তেন্তে মই সেই উদাহৰণটো মনত পেলাই উপলব্ধি কৰাৰ চেষ্টা কৰিছিলোঁ। সেই উদাহৰণটোৰ জৰিয়তেই ক্ষন্তেকপৰৰ বাবে দেখা হোৱা log ৰ সৈতে কথা-বতৰা চলে আৰু তাৰ পিছত পুনৰ সি এযুগলৈ দেখা-সাক্ষাৎ নকৰে।
প্ৰায় ১০০ শতাংশ গণিতৰ ছাত্ৰ-ছাত্ৰীৰে log ৰ লগত বন্ধুত্ব সিমানেই, আৰু বেলেগ একো খাটিৰ-বাটিৰ নাই। যদিহে কোনোবাই হাইস্কুলৰ শিক্ষক হৈ logarithm পাঠটো পঢ়ুৱাব লগা হয় নতুবা হায়াৰ ছেকেণ্ডাৰী বা কলেজ শিক্ষক হৈ কলন গণিত আৰম্ভ কৰিব লগা হয়, তেন্তে log টোক সেই অকণমান আকৌ লগ পায়। পুনৰ তেওঁলোকৰ ছাত্ৰ-ছাত্ৰীয়েও log ক পাহৰি যায়। আকৌ তেওঁলোকৰো কোনোবাই সেই পাঠটো পঢ়ুৱাব লগা হ’লে এদিন log ক লগ পায়। এই বৃত্তটোৱেই ঘূৰি থাকে।
সৰু সৰু যোগ আৰু বিয়োগৰ ধাৰণা শিশুসকলৰ মনত তেনেই সৰুতেই নিজে নিজে গঢ়ি উঠে। ই এক মনস্তাত্ত্বিক কথা। শিশুৱে নিজে বুজিব পৰা হয় যে এটা আমতকৈ তিনিটা আমৰ পৰিমাণটো বেছি। যিটো কথা মৰমেৰে লক্ষ্য কৰি প্ৰতিগৰাকী মাতৃয়েই হয়তো আচৰিত হয়– “আমাৰ ই/এই ইমান সৰুতেই কেনেকৈ পাৰিছে!” গণিতজ্ঞ বেৰী মেজৰে (Barry Mazur) তেওঁৰ এখন কিতাপত লিখিছে যে পাঁচমহীয়া শিশুৱো ১+১ আৰু ২-১ ৰ পাৰ্থক্যৰ প্ৰতি সংবেদনশীল। এজন মনস্তত্ত্ববিদে ‘Nature’ পত্ৰিকাত প্ৰকাশ কৰা অধ্যয়নৰ ভিত্তিত তেওঁ সেই কথা লিখিছিল।
ডাঙৰ হোৱাৰ পিছতো, মানুহে সাধাৰণতে যোগ, বিয়োগ, পূৰণ, হৰণ আদি মাথোঁ কেইটামান প্ৰক্ৰিয়াহে একদম মনৰ পৰা উপলব্ধি কৰিব পাৰে। এইকেইটাৰ বাহিৰে বেলেগ যদি সহজে উপলব্ধি কৰিব পাৰিলহেঁতেন, তেন্তে পূৰণি কালত মানুহে এইকেইটাৰ বাহিৰে বেলেগ প্ৰক্ৰিয়াবোৰত হয়তো অধিক কাম কৰিলেহেঁতেন, আৰু ফলত এতিয়া স্কুলীয়া পৰ্যায়তো সেইবোৰহে বেছিকৈ থাকিলহেঁতেন। কথাখিনি বুজিবলৈ উদাহৰণ ল’ব পাৰি: ২ ক এশবাৰ যোগ কৰিলে কি পোৱা যাব, সেইটো কথা মানুহে সহজতে মনৰ পৰা উপলব্ধি কৰিব পাৰে। বা ১.১ ৰ লগত ১০০.৯ যোগ কৰিলে কিমান বাঢ়িব বা কমিব, সেইটোৱো উপলব্ধি কৰিব পাৰে। কিন্তু, উদাহৰণস্বৰূপে, সূচকীয় পৰিৱৰ্তনবোৰ মানুহে সহজে উপলব্ধি কৰিব নোৱাৰে। নিজকে প্ৰমাণ কৰিব চাব পাৰে: \text{১.১}^\text{১০০} ৰ মান কিমান হ’ব ভাবি চাওকচোন। তাৰপিছত কেলকুলেটৰৰ সহায়ত উত্তৰটো উলিয়াই চাওক, নিজে ভবাটোৰ লগত একেবাৰেই আচৰিত ধৰণে নিমিলে।
অতি কঠিন প্ৰক্ৰিয়াবোৰ বাদেই, এনেকুৱা সহজ যেন লগা প্ৰক্ৰিয়াও বহুত আছে, যিবোৰ অন্তৰেৰে উপলব্ধি কৰাটো কঠিন। log টোৱো তেনে এটা প্ৰক্ৰিয়াই হয়। \log x ক বাৰু সামান্য উপলব্ধি কৰা হ’ল। কিন্তু \log(\log x) বা চমুকৈ \log\log x ক কেনেকৈ উপলব্ধি কৰিব? আকৌ, \frac{\log x \log\log x}{(\log\log\log x)^\text{২}} ক কেনেকৈ কৰিব? যিহেতু log ৰ অৱস্থা ওপৰত উল্লেখ কৰা দৰে হয়েই, তেন্তে এইকেইটাৰ প্ৰয়োজননো কি?
সংখ্যাতত্ত্বক প্ৰধানকৈ চাৰিটামান ভাগত ভগাব পাৰি। ইয়াৰে এটা ভাগ হ’ল বিশ্লেষণাত্মক সংখ্যাতত্ত্ব (Analytic Number Theory)। এই ভাগটোত এনেকুৱা কিছুমান কথা অধ্যয়ন কৰা হয় য’ত পৃষ্ঠাই পৃষ্ঠাই log ভৰি থাকে। ওপৰৰ পেৰাগ্ৰাফটোত যিমানকেইটা log দেখুওৱা হৈছে, তাতকৈ অধিক log একোটা সূত্ৰতে জড়িত হৈ থাকে। ইয়াতকৈয়ো অধিক log একোটা পৃষ্ঠাতে বেলেগ বেলেগ ধৰণে প্ৰকাশ হৈ থাকে। কেইবছৰমান আগতে মহান গণিতজ্ঞ টেৰেন্স টাৱে সংখ্যাতত্ত্ববিদসকলে বৰ ভাল পোৱা কৌতুক এটাৰ কথা কৈছিল যে– পানীত ডুবা সংখ্যাতত্ত্ববিদ এজনে কি বুলি চিঞৰে? “Log log log log …” (কাৰণ ইংৰাজীৰ log ৰ এটা অৰ্থ হৈছে কাঠৰ কুণ্ডা)।
মৌলিক সংখ্যাৰ বিষয়ে যদি জানিব বিচৰা হয়, তেন্তে log ক উপলব্ধি কৰিব লগা হয়েই। বিশুদ্ধ গণিতত প্ৰতিদিনে উদ্ধৃত উপপাদ্যকেইটাৰ এটা হৈছে ‘মৌলিক সংখ্যা উপপাদ্য’। স্কুলত পোৱা ‘a+b whole square’ সূত্ৰটোৰ দৰে ই যেন এটা প্ৰাৰম্ভিক উপপাদ্য। আৰু মৌলিক সংখ্যাৰ বিষয়ে জানিব খোজোতে ইয়াতেই log ৰ উপস্থিতি আৰম্ভ হৈ তাৰ পৰা বাঢ়ি বাঢ়ি গৈ থাকে।
টেৰেন্স টাৱে ৰসিকতা কৰা এই “log log log log …” বুলি ইমানকৈ মাতিবলগীয়া জগতখনত কাম কৰা মানুহ অসমত কম বাবে আমাৰ ইয়াত ওপৰত কোৱা সেই বৃত্তটোৰ সৃষ্টি হৈছে। শেহতীয়াকৈ দুজন অসমীয়া ছাত্ৰ ওলাইছে, যি এই জগতখনত বিচৰণ কৰিছে। এজন কুঞ্জকানন নাথ আৰু আন এজন অয়ন নাথ। দুয়োজনেই ব্যতিক্ৰম।
কুঞ্জকাননে দিল্লী বিশ্ববিদ্যালয়ৰ ৰামযশ কলেজৰ পৰা স্নাতক, চেন্নাই গাণিতিক প্ৰতিষ্ঠানৰ (CMI) পৰা স্নাতকোত্তৰ ডিগ্ৰী লৈ কানাডাৰ মণ্ট্ৰিয়ল বিশ্ববিদ্যালয়ৰ পৰা ডক্টৰেট ডিগ্ৰী লাভ কৰিছে, আৰু এতিয়া পোষ্ট-ডক্টৰেটৰ কাম কৰি আছে।
অয়ন নাথে কিছুদিন পূৰ্বে চেন্নাই গাণিতিক প্ৰতিষ্ঠানত স্নাতক ডিগ্ৰীৰ পাঠ্যক্ৰম আৰম্ভ কৰিছে। কিন্তু তাৰ পূৰ্বেই স্কুলীয়া অৱস্থাতে ইতিমধ্যে তেওঁৰ তিনিখন গৱেষণা-পত্ৰ প্ৰকাশ পাইছে। আৰু যিকেইখন জাৰ্নেলত প্ৰকাশ পাইছে সেই ধৰণৰ জাৰ্নেলত গৱেষণা-পত্ৰ প্ৰকাশ পোৱা বিশুদ্ধ গণিতৰ মানুহ অসমত কমেই আছে। তাকো ইমান সৰুতেই। জাৰ্নেল তিনিখন হৈছে The American Mathematical Monthly, Bulletin of the Australian Mathematical Society, আৰু International Journal Of Number Theory. গণিতৰ আটাইতকৈ উচ্চ জাৰ্নেলকেইখন এইকেইখন নহয়, কিন্তু এই পৰ্যায়ৰ জাৰ্নেলত নিয়মীয়াকৈ প্ৰকাশ হৈ থকা অসমীয়া গণিতজ্ঞ আঙুলি মূৰত লিখিব পৰা।
কুঞ্জকাননৰ ডক্টৰেট ডিগ্ৰীৰ তত্ত্বাৱধায়ক আছিল Dimitris Koukoulopoulos. ২০২২ চনত অনুষ্ঠিত হ’বলগীয়া গণিতজ্ঞসকলৰ আন্তঃৰাষ্ট্ৰীয় সন্মিলনৰ (ICM) এজন নিমন্ত্ৰিত বিশেষ বক্তা হ’ল Dimitris Koukoulopoulos. এই নিমন্ত্ৰণক অতি সন্মানীয় বুলি গণ্য কৰা হয়, কাৰণ এই সন্মিলনতে ফিল্ডছ মেডেলো প্ৰদান কৰা হয়। এইখিনিতে আমি বিশ্বমানৰ গণিতজ্ঞসকলক (বা বিজ্ঞানীসকলক) দুটা ভাগত ভগাই ল’ব পাৰোঁ। এটা ভাগৰ গণিতজ্ঞসকলে সৰু-ডাঙৰ যিকোনো ভাল সমস্যা পালে সেইবোৰ সমাধান কৰি যায় আৰু ফলত তেওঁলোকৰ উৎপাদন বৃদ্ধি পায়। আৰু আনটো ভাগৰ গণিতজ্ঞসকলে তেনেকৈ কাম নকৰে, তেওঁলোকে এটা বা দুটা সমস্যাৰ দিশতে অহৰহ লাগি থাকে আৰু সেইবাবে তেওঁলোকৰ ফলটো ডাঙৰ হয় কিন্তু উৎপাদন কম হয়। Dimitris Koukoulopoulos, জেমছ মেয়নাৰ্ড (James Maynard), পিটাৰ শ্ব’লজে (Peter Scholze) আদি দ্বিতীয়ভাগৰ গণিতজ্ঞ। এই দ্বিতীয়ভাগৰ গণিতজ্ঞসকলৰ সৈতে কাম কৰিবলৈ পোৱাটো বৰ সহজ নহয়। তেওঁলোকৰ সংস্কৃতিটো বা পদ্ধতিটোৱেই অকণমান বেলেগ হয়। ইয়াৰে পিটাৰ শ্ব’লজে এখোপ চৰা। তেওঁ তিনি বছৰমানৰ মূৰত একোটা ফলাফল প্ৰকাশ কৰে আৰু সিয়েই এটা ধাৰা সৃষ্টি কৰি পেলায়। কেতিয়াবা এই দুই ভাগৰ মাজত বৰকৈ সীমাৰেখা টানিব নোৱাৰি। কিছুমানৰ উৎপাদনো অধিক থাকে আৰু তেওঁলোকে সদায় আন একোটা কঠিন কামতো লাগি থাকে। আন কিছুমানৰ আকৌ কঠিন কামবোৰৰো উৎপাদন আচৰিত ধৰণে বহু অধিক, যেনে টেৰেন্স টাও।
কুঞ্জকাননে পাঁচ বছৰত এখনেই গৱেষণা-পত্ৰ লিখি সম্পূৰ্ণ কৰিছে। তেওঁ কোৱা ঘটনা এটাৰ কথা মোক এদিন মঞ্জিল পি. শইকীয়াই কৈছিল, তেওঁ কথাটো ৱেবিনাৰ এখনত কৈছিল যিখন মই চোৱা নাছিলোঁ। কুঞ্জকাননে কাম কৰি থাকোঁতে সৰু ফলাফল এটা পালে, যিটো বস্তু সংখ্যাতত্ত্বৰ এখন নামী জাৰ্নেল ‘Journal Of Number Theory’ ত প্ৰকাশ পোৱাৰ যোগ্য। তেওঁ কথাটো Dimitris Koukoulopoulos ক ক’লে। তত্ত্বাৱধায়কজনে ক’লে যে– তাত নালাগে দিব, সেইটো থেচিছত দি দিবা। তাৰমানে তাতোকৈ বৃহৎ ফলাফল বিচাৰি থকা হৈছে। তেওঁৰ গৱেষণা-পত্ৰখন (থেচিছখন) log ৰে ভৰ্তি হৈ আছে।
অসমৰ পৰা গৈ log ৰ লগ ভালকৈয়ে লোৱা আৰু এজন আছে। তেওঁ বিশ্ববিখ্যাত। নাম নীৰজ কয়াল (Neeraj Kayal)। বৰ্তমান তেওঁ ‘Microsoft Research’ ত কৰ্মৰত।
এতিয়া এটা প্ৰশ্ন হয় যে এই সমস্যাবোৰনো কেনেকুৱা? বুজিবলৈ বৰ কঠিন নেকি? উত্তৰটো হ’ল: সদায় নহয়। সমস্যাটো প্ৰায়েই একদম সহজ কথা এটাৰ পৰা আৰম্ভ হয়। Dimitris Koukoulopoulos-এ কৰা এটা কামৰ সমস্যাটো আহিছিল পল এয়াৰডছৰ (Paul Erdős) এটা প্ৰশ্নৰ পৰা। পল এয়াৰডছেও এই log ৰ ক্ষেত্ৰখনৰ অজস্ৰ কাম কৰি থৈ গৈছে।
পূৰণৰ নেওতাখন আমি সৰুতে মুখষ্ঠ কৰিছো, অজস্ৰবাৰ দেখিছোঁ। এক এগুণ এক, এক দুগুণ দুই, … এনেকৈ দহ দহগুণ এশলৈকে মুঠতে ১০০ টা ফলাফল (সংখ্যা) পোৱা যায়। (নেওতাখন নিজে ঘৰ ঘৰকৈ আঁকি চাব পাৰি।) এই এশটা ফলাফলত পৃথক পৃথক সংখ্যা মুঠতে কেইটা আছে? হিচাপ কৰিলে ওলায় যে এই নেওতাখনত কেৱল ৪২ (বিৰাল্লিছ) টা হে পৃথক সংখ্যা আছে।
যদি আমি নেওতাখন ১০০×১০০ লৈকে লিখি যাওঁ তেন্তে তাত পৃথক সংখ্যা মুঠতে কিমান থাকিব? যদি নেওতাখন ১০০০×১০০০ লৈকে বা তাতোকৈ অধিক আগবাঢ়ি অতি ডাঙৰ যিকোনো অখণ্ড সংখ্যা N ৰ বাবে হিচাপটো উলিয়াব লগা হয় তেতিয়া কিমান পাম? এইটোৱেই হ’ল প্ৰশ্নটো।
চমুকৈ, \{ab: a\leq N, b\leq N\} সংহতিটোৰ মাত্ৰা কিমান? আমি ইতিমধ্যে জানিব পাৰিলো যে \{ab: a\leq\text{১০}, b\leq\text{১০}\} সংহতিটোৰ মাত্ৰা ৪২।
প্ৰশ্নটো সৰল যদিও ইয়াৰ উত্তৰটো কিন্তু পোনপটীয়া নহয়। ইয়াক হৃদয়ংগম কৰিবলৈ log লগা হয়। ইয়াৰ উত্তৰ দিছে Dimitris Koukoulopoulos ৰ পিএইছডিৰ তত্ত্বাৱধায়ক কেভিন ফ’ৰ্ডে (Kevin Ford)। আৰু Dimitris Koukoulopoulos-এ থেচিছখনত ইয়াৰ আন সাধাৰণীকৰণৰ বাবে খৰচ কৰিছে প্ৰায় এশ পৃষ্ঠা, য’ত log উপস্থিত আছে প্ৰায় ৬০০ বাৰ।
No Comments