ফুৰ্ষ্টেনবাৰ্গ আৰু মৌলিক সংখ্যা অসীম সংখ্যক হোৱাৰ আন এক প্ৰমাণ

২০২০ চনৰ এগৰাকী আবেল বঁটা বিজয়ী গণিতজ্ঞ হিল্লেল ফুৰ্ষ্টেনবাৰ্গে (২৯ ছেপ্তেম্বৰ, ১৯৩৫) স্নাতক পৰ্যায়তে কেইখনমান গৱেষণা-পত্ৰ উলিয়াইছিল। আৰু তেতিয়া এই বুলি বুবু-বাবা চলিছিল যে এইটো এজন মানুহৰ নাম নহয়; কেইবাজনো গণিতজ্ঞ লগ লাগি সৃষ্টি কৰি লোৱা এটা ছদ্মনামহে। কাৰণ তাত কেইবাধৰণৰ বিষয়-বস্তুৰ ধাৰণা সন্নিৱিষ্ট ঘটিছিল; সেই গোটেইখিনি একেজন মানুহৰ মনৰ পৰা ওলোৱাটো সাধাৰণ কাম নাছিল। মানুহে সেইধৰণে আলোচনা কৰাৰ এক অৱলম্বনো আছিল, কাৰণ গণিত জগতক তেনে ধৰণৰ এক ছদ্মনামে যুগান্তকাৰীভাৱে সলনি কৰি দিয়া ঘটনাও ইতিমধ্যে ঘটি আছিল। পাছৰ কালত, পৰস্পৰ পৃথক যেন লগা কেইবাটাও বিষয়-বস্তুৰ মাজত সংযোগ প্ৰতিষ্ঠা কৰা ধৰণৰ কামৰ বাবেও হিল্লেল ফুৰ্ষ্টেনবাৰ্গ বিশেষভাৱে পৰিচিত হৈছিল।

সেই তেতিয়াই, ১৯৫৫ চনত, ফুৰ্ষ্টেনবাৰ্গে মৌলিক সংখ্যা অসীম সংখ্যক আছে বুলি এটা নতুন প্ৰমাণ আগবঢ়ালে। যিটো ‘The American Mathematical Monthly’ত প্ৰকাশ পালে। মৌলিক সংখ্যাৰ পৰিমাণ অসীম বুলি দুহেজাৰো অধিক বছৰৰ পূৰ্বেই ইউক্লিডে প্ৰমাণ কৰিছিল, যিটোৱে সভ্যতাত ব্যাপক প্ৰভাৱ পেলাইছিল। তাৰ পাছতো, মৌলিক সংখ্যা অসীম পৰিমাণে আছে বুলি কেইবাটাও পৃথক প্ৰমাণ ওলাইছে আৰু প্ৰতিটোৰে বিশেষ গুৰুত্ব আছে। ফুৰ্ষ্টেনবাৰ্গৰ প্ৰমাণটোৰ অদ্ভুত কথাটো হ’ল, তেওঁ তাত সংস্থিতি বিদ্যা (topology) প্ৰয়োগ কৰিলে। সংখ্যা তত্ত্বৰ প্ৰশ্ন এটাৰ উত্তৰ আহিল সংস্থিতি বিদ্যাৰ পৰা!

আধা পৃষ্ঠাতকৈও কম, মাথোঁ এটা পেৰাগ্ৰাফ জোখৰ, ফুৰ্ষ্টেনবাৰ্গৰ প্ৰমাণটো বুজি পোৱাটো বহুতৰ বাবে কঠিন হ’ব, কাৰণ তাৰ বাবে সংস্থিতি বিদ্যাৰ কিছু ধাৰণা লাগিব। অৱশ্যে সংস্থিতি বিদ্যাৰ প্ৰাৰম্ভিক ধাৰণাখিনি আয়ত্ব কৰাৰ পাছতে ইয়াক বুজাতো তেনেই সহজো হয়।

২০০৯ চনত Idris D. Mercer নামৰ এজন লোকে ফুৰ্ষ্টেনবাৰ্গৰ প্ৰমাণটোৰ সংস্থিতি বিদ্যাখিনি আঁতৰাই এটা বিকল্প সৰল ব্যাখ্যা আগবঢ়ালে। সেইটোও ‘The American Mathematical Monthly’ত প্ৰকাশ পাইছিল। আন কেইজনমান লোকেও ফুৰ্ষ্টেনবাৰ্গৰ প্ৰমাণটোৰ সম্পৰ্কত আকৰ্ষণীয় কিছুমান কাম কৰি দেখুৱাইছে।

Mercer-এ আগবঢ়োৱা প্ৰমাণটো বুজিবলৈ সংহতিৰ মিলন (union) আৰু ছেদনৰ (intersection) অলপ ধাৰণা থাকিলেই যথেষ্ট। তেওঁৰ কথাখিনি স্কুলীয়া ছাত্ৰ-ছাত্ৰীয়ে বুজিব পৰাকৈ তলত আগবঢ়ালোঁঃ

সংজ্ঞা আৰু চিহ্নঃ ধৰা, $m$ আৰু $r$ দুটা অখণ্ড সংখ্যা য’ত $m\ge ১,$ আৰু $r+m\mathbb{Z}$ এ সেইসমূহ অখণ্ড সংখ্যাৰ সংহতিটো বুজায় যিসমূহক $m$ এৰে হৰণ কৰিলে $r$ বাকী ৰয়। যেনে,

$২+৭\mathbb{Z}= \{\ldots, -১২,-৫,২,৯,১৬,\ldots\}।$

এনেকুৱা সংহতি একোটাক সমান্তৰ প্ৰগতি বুলি কোৱা হয়।

এতিয়া, $m\ge ২$ ৰ বাবে, $m$ এৰে হৰণ নোযোৱা অখণ্ড সংখ্যাৰ সংহতিটো হ’ব

$(১+m\mathbb{Z}) \cup\cdots\cup \left((m-১)+m\mathbb{Z}\right).$

ইয়াক $\text{NM}(m)$ এৰে চিহ্নিত হওক।

সিদ্ধান্ত ১: সসীম সংখ্যক সমান্তৰ প্ৰগতিৰ ছেদন সদায় এটা ৰিক্ত সংহতি নতুবা অসীম সংহতি হয়।

[টোকাঃ এই ‘সসীম সংখ্যক সংহতিৰ ছেদন’ কথাটোক চমুকৈ ‘সসীম ছেদন’ বুলি কোৱা হয়। সেইদৰে মিলনৰ ক্ষেত্ৰত কোৱা হয় ‘সসীম মিলন’।]

এই সিদ্ধান্তটোৰ অৰ্থ হৈছে যে, সসীম সংখ্যক সমান্তৰ প্ৰগতিৰ ছেদনটো এটা ৰিক্ত সংহতি হ’ব পাৰে, কিন্তু ছেদনটোত যদি এটাও মৌল পোৱা যায় তেন্তে মুঠ মৌল অসীম সংখ্যক হ’বই লাগিব। ধৰা হওক, আমাৰ হাতত $k$ টা সমান্তৰ প্ৰগতি আছে: $r_i+m_i\mathbb{Z}$, য’ত $১\le i\le k.$ আৰু ধৰা হওক ইহঁতৰ ছেদনটোত এটা মৌল $x$ আছে। তেতিয়া, $x$ টো প্ৰতিটোতে থাকিব লাগিব। গতিকে প্ৰতিটো সমান্তৰ প্ৰগতিতে $\displaystyle x+\prod_{i=১}^{k}m_i$ মৌলটোও থাকিব। আৰু সেয়েহে যিকোনো অখণ্ড সংখ্যা $a$ ৰ বাবে $\displaystyle x+a\prod_{i=১}^{k}m_i$ মৌলবোৰ প্ৰতিটো সমান্তৰ প্ৰগতিত থাকিব। গতিকে ছেদনটোত অসীম সংখ্যক মৌল থাকিব।

সিদ্ধান্ত ২: সসীম মিলনৰ সসীম ছেদনক সসীম ছেদনৰ সসীম মিলন ৰূপে প্ৰকাশ কৰিব পাৰি।

উদাহৰণস্বৰূপে, $(A\cup B)\cap(E\cup F\cup G)\cap(C\cup D\cup H)$ হৈছে সসীম মিলন ৰূপে থকা সংহতিৰ সসীম ছেদন। সংহতিৰ মিলনৰ সাপেক্ষে ছেদনে বিতৰণ বিধি মানি চলে। একেদৰে, ছেদনৰ সাপেক্ষে মিলনেও বিতৰণ বিধি মানি চলে। এই বিধি মতে ভাঙি গৈ থাকিলে এইটোক সসীম ছেদনৰ সসীম মিলন ৰূপে পোৱা যাব। এই কথাখিনি বুজিবলৈ সংখ্যাৰ যোগ আৰু পূৰণৰ উদাহৰণ লৈ চাব পাৰি, কাৰণ পূৰণে যোগৰ সাপেক্ষে বিতৰণ বিধি মানি চলে। (কিন্তু মনত ৰাখিবা, যোগে পূৰণৰ সাপেক্ষে বিতৰণ বিধি মানি নচলে।) যেনে,
$(১০+৯)\times (৭+২)\times (৩+৫)$
$\qquad = (১০\times ৭\times ৩)+(৯\times ৭\times ৩)+ (১০\times ২\times ৩)$
$\qquad\quad +(৯\times ২\times ৩)+(১০\times ৭\times ৫)+(৯\times ৭\times ৫)$
$\qquad\quad +(১০\times ২\times ৫)+(৯\times ২\times ৫)।$

মূল প্ৰমাণটোঃ যদি সম্ভৱ ধৰা হওক, $p_১,p_২,\ldots, p_k$ হৈছে সমস্ত মৌলিক সংখ্যা। তেন্তে আমি পাম,

$\{-১,+১\}= \text{NM}(p_১)\cap \text{NM}(p_২)\cap \cdots \cap \text{NM}(p_k).$

এইটো দেখদেখকৈ ওলাই আছে, কাৰণ ইয়াৰ দ্বাৰা গোটেইবোৰ মৌলিক সংখ্যা $p_১,p_২,\ldots, p_k$ ৰে হৰণ নোযোৱা অখণ্ড সংখ্যাৰ সংহতিটোক বুজোৱা হৈছে।

এতিয়া, সোঁপক্ষটো হৈছে কিছুমান সমান্তৰ প্ৰগতিৰ সসীম মিলনৰ সসীম ছেদন। গতিকে সোঁপক্ষটোক, সিদ্ধান্ত ২ অনুসৰি, সসীম ছেদনৰ সসীম মিলন ৰূপে প্ৰকাশ কৰিব পাৰি। অৰ্থাৎ, ইয়াৰ ৰূপটো এনেকুৱা হ’বঃ
$B_১\cup B_২ \cup \cdots \cup B_\ell,$
য’ত $\ell$ কিবা এটা ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা আৰু $B_১, B_২, \ldots, B_\ell$ প্ৰতিটোৱেই সমান্তৰ প্ৰগতিৰ সসীম ছেদন। এতিয়া সিদ্ধান্ত ১ অৰ মতে, সমান্তৰ প্ৰগতিৰ সসীম ছেদন সদায় এটা ৰিক্ত সংহতি বা অসীম সংহতি। অৰ্থাৎ $B_১, B_২, \ldots, B_\ell$ অৰ প্ৰতিটো একোটা ৰিক্ত সংহতি বা অসীম সংহতি। গতিকে, ইহঁতৰ মিলন ৰিক্ত সংহতি বা অসীম সংহতি হ’ব লাগিব। কিন্তু, ওপৰত পোৱা গৈছে যে ৰিক্তও নহয়, অসীমো নহয়, তাত $-১$ আৰু $+১$ মৌল দুটাহে আছে। আৰু সেইটো পোৱা গৈছিল মৌলিক সংখ্যা সীমিত সংখ্যক বুলি ধৰা কাৰণেই। গতিকে, মৌলিক সংখ্যা অসীম সংখ্যক।