সঁচা-মিছা কওঁতাহঁতৰ দ্বীপ আৰু এবিধ নতুন ভগ্নাংশ — (ড৹ প্ৰদীপ দেৱনাথ আৰু পংকজ জ্যোতি মহন্ত)

[ড৹ প্ৰদীপ দেৱনাথ তেজপুৰ বিশ্ববিদ্যালয়ৰ গণিতবিজ্ঞান বিভাগৰ সহযোগী অধ্যাপক। এয়া হৈছে তেওঁৰ সৈতে মই লিখা ‘বিচিত্ৰ সমস্যা আৰু গণিতৰ অদ্ভুত কাৰ্যদক্ষতা’ শীৰ্ষক গ্ৰন্থখনৰ দুটা অধ্যায়। এই লেখাটো ‘অসম গণিত শিক্ষায়তন’ৰ দুকুৰি বছৰ পূৰ্তি উপলক্ষে প্ৰকাশিত স্মৃতিগ্ৰন্থ ‘অভিসৰণ’ত প্ৰকাশ হৈছিল।]

অধ্যায় ৮: সত্য কওঁতাহঁত আৰু মিছা কওঁতাহঁতৰ দ্বীপ

যুক্তিৰ সাঁথৰ, যিবোৰে প্ৰথমে আপোনাৰ মগজুত টোকৰ মাৰে আৰু পাছত মেৰামতি কৰে

এটা অদ্ভুত দ্বীপ

ভাবক, আপুনি এটা ৰহস্যময় দ্বীপত ভ্ৰমণ কৰিবলৈ গ’ল। সেই দ্বীপত দুটা ধৰ্মৰ মানুহে বাস কৰে।

• সত্য কওঁতাহঁত: তেওঁলোকে সদায়েই সঁচা কথা কয়।
• মিছা কওঁতাহঁত: তেওঁলোকে সদায়েই মিছা কথা কয়।

সমস্যাটো হ’ল— কেৱল চেহেৰাৰ পৰা বা ব্যৱহাৰৰ পৰা কোনজন কি ধৰ্মৰ আপুনি চিনাক্ত কৰিব নোৱাৰে।

এই দ্বীপত বাসিন্দাসকলে দিয়া যিকোনো প্ৰশ্নোত্তৰেই হৈছে যুক্তিৰ সাঁথৰ একোটাৰ আৰম্ভণি।

প্ৰথম সাঁথৰ: এজন বাসিন্দা

ধৰি লওক, আপুনি গৈ পথত এজন মানুহক লগ পালে। তেওঁ ক’লে: “মই মিছা কওঁতাহঁতৰ মাজৰ এজন।”

এতিয়া প্ৰশ্ন হ’ল— তেওঁ আচলতে কোন ধৰ্মৰ?

• যদি তেওঁ সত্য কওঁতাহঁতৰ মাজৰ এজন হয়, তেন্তে তেওঁ কোৱা বাক্যটো মিছা, যিটো অসম্ভৱ।
• যদি তেওঁ মিছা কওঁতাহঁতৰ মাজৰ এজন হয়, তেন্তে “মই মিছা কওঁতাহঁতৰ মাজৰ এজন” বাক্যটো সঁচা হ’ব, যিটো আচলতে তেওঁ ক’বই নোৱাৰিব।

গতিকে, এইটো এক বিৰোধাভাস — যি ইংগিত দিছে যে এনে ঘোষণা অসম্ভৱ।

দ্বিতীয় সাঁথৰ: দুজন বাসিন্দা

ধৰি লওক, আপুনি দুজনক লগ পালে। এজনে ক’লে: “আমি দুয়োজনেই মিছা কওঁতাহঁতৰ মাজৰ।”

• যদি কওঁতাজন সত্য কওঁতাহঁতৰ মাজৰ হয়, তেন্তে তেওঁ কোৱা বাক্যটো সঁচা হ’ব লাগিব, যিটো ইয়াত অসম্ভৱ।
• যদি কওঁতাজন মিছা কওঁতাহঁতৰ মাজৰ হয়, তেন্তে তেওঁ কোৱা বাক্যটো সঁচা হৈ পৰিব যদিহে আনজন বাসিন্দাও মিছা কওঁতাহঁতৰ মাজৰ। সেয়ে ইয়াত কওঁতাজনে বাক্যটো ক’বই নোৱাৰিব।
  কিন্তু, আনজন বাসিন্দা যদি সঁচা কওঁতাহঁতৰ মাজৰ, তেন্তে কওঁতাজনে বাক্যটো ক’ব পাৰিব।

অৰ্থাৎ, কওঁতাজন মিছা কওঁতাহঁতৰ মাজৰ আৰু আনজন সত্য কওঁতাহঁতৰ মাজৰ।

এই ধৰণৰ সাঁথৰে ঢাপে ঢাপে যুক্তিৰ নিয়মতকৈও গভীৰলৈ ভাবিবলৈ বাধ্য কৰে।

তৃতীয় সাঁথৰ: এক নতুন ধৰ্ম

ধৰি লওক, দ্বীপটোত এটা সম্পূৰ্ণ নতুন নিয়ম প্ৰৱৰ্তন কৰা হ’ল। ইয়াৰ সকলো বাসিন্দাই মংগল বাৰ, বৃহস্পতি বাৰ আৰু শনি বাৰে মিছা কথা কয়, আৰু বাকী বাৰকেইটাত সকলোৱে সঁচা কথা কয়। তেন্তে, দ্বীপটোত কিছুদিন থকাৰ পাছত আপুনি যদি কোনোবাদিনা বাৰটো পাহৰি যায়, তেতিয়া বাসিন্দাসকলক কেনে প্ৰশ্ন সুধি সঠিক বাৰটো জানিব পাৰিব?

চতুৰ্থ সাঁথৰ: যাত্ৰীৰ প্ৰশ্ন

এইটো অতি বিখ্যাত।

আপুনি গৈ এটুকুৰা স্থান পালেগৈ, য’ত পথটো দুফালে ফাটি গৈছে আৰু তাতে দুজন বাসিন্দাক লগ পাইছে। তেওঁলোকৰ এজন সত্য কওঁতাহঁতৰ মাজৰ আৰু আনজন মিছা কওঁতাহঁতৰ মাজৰ। এতিয়া আপুনি কোন ফালেদি যাব কেনেকৈ থিৰাং কৰিব?

এটা চৰ্ত আছে যে আপুনি মাথোঁ এজনকহে প্ৰশ্ন কৰিব পাৰে। তেন্তে, আপুনি কি প্ৰশ্নৰে সঠিক পথটো চিনাক্ত কৰিব পাৰিব?

ধৰা হওক, আপুনি এটা দিশলৈ আঙুলিয়াই এজন বাসিন্দাক সুধিলে— “এইটোৱেই সঠিক পথ নে?”

• যদি তেওঁ সত্য কওঁতাহঁতৰ হয়, তেওঁ সঁচা উত্তৰ দিব।
• যদি তেওঁ মিছা কওঁতাহঁতৰ হয়, তেওঁ মিছা ক’ব। অৰ্থাৎ, তেওঁ সত্যটোৰ বিপৰীতটো বুজাব।

কিন্তু, এই উত্তৰ আপোনাৰ সমূলি কামত নাহিব, কাৰণ আপুনি নাজানে যে কোনজন কোনটো ভাগত আছে।

কৌশলী প্ৰশ্ন

এই কাহিনীয়ে এটা চমকপ্ৰদ পৰিৱৰ্তন লাভ কৰিব, যদিহে আপুনি পথটোৰ বিষয়ে পোনপটীয়াকৈ নুসুধি এটা বিশেষ কৌশলী প্ৰশ্ন সোধে:

“এইটোৱেই সঠিক পথ হয়নে বুলি আনজন বাসিন্দাক মই প্ৰশ্ন কৰিলে তেওঁ বাৰু কি উত্তৰ দিব?”

এতিয়া ভালকৈ ভাবি চাওকচোন।

• যদি আপুনি সত্য কওঁতাৰ লগত কথা পাতে, তেন্তে তেওঁ শুদ্ধকৈ ক’ব যে আনজনে মিছা উত্তৰ দিব।
• যদি আপুনি মিছা কওঁতাৰ লগত পাতে, তেন্তে তেওঁ আনজনে দিবলগীয়া শুদ্ধ উত্তৰটোৰ বিষয়ে মিছাকৈ ক’ব। অৰ্থাৎ, তেওঁ সত্যটোৰ বিপৰীতটো বুজাব।

ইয়াত প্ৰতিটো ক্ষেত্ৰতেই আপুনি পোৱা উত্তৰটো অশুদ্ধ উত্তৰ হ’ব। অৰ্থাৎ, বাসিন্দা দুজনৰ যিজনেই নহওক কিয়, তেওঁলোকে যিটো উত্তৰ দিয়ে তাৰে বিপৰীতটো আপোনাৰ সঠিক পথ।

ই এক যাদুৰ দৰে কাম কৰে। এটা মাথোঁ প্ৰশ্নয়েই কোনজন সত্য কওঁতা আৰু কোনজন মিছা কওঁতা সেই বিভ্ৰান্তি আঁতৰাই পেলালে, বা অপ্ৰাসংগিক কৰি পেলালে।

যুক্তিৰ শক্তি

এইধৰণৰ সাঁথৰ কেৱল মনোৰঞ্জনৰ বাবে নহয়। এয়া যুক্তিবিদ্যাৰ মূলত থকা ধাৰণাসমূহৰ অংশ। ইয়াত যিটোক সমাধানহীন বা অনিশ্চয়তাপূৰ্ণ যেন লাগে, তাৰ পৰা অনিশ্চয়তাখিনি আঁতৰাই পেলাবলৈ যুক্তিৰ কৌশল ব্যৱহাৰ কৰা হয়। এইবোৰে বিভ্ৰান্তিত নিহিত থকা গাঁথনি নিৰ্ণয় কৰিবলৈ বা উত্তৰ অনিৰ্ণীত যেন লগা প্ৰশ্নক পুনঃগঠন কৰিবলৈ অনুশীলন আগবঢ়ায়।

বৰ্তনী নিৰ্মাণ বা এলগৰিদম চৰ্চা কৰোঁতে কম্পিউটাৰ বিজ্ঞানত এইধৰণৰ যুক্তিৰ প্ৰয়োগ ঘটে।

• কম্পিউটাৰ বিজ্ঞানত বুলিয়েন যুক্তিবিদ্যাৰ আধাৰ — সত্য (অৰ্থাৎ ১) আৰু অসত্য (অৰ্থাৎ ০) — এই ধাৰণাৰ ওপৰত নিৰ্মিত।
• কৃত্ৰিম বুদ্ধিমত্তাত (AI) অনুমান বা সিদ্ধান্ত নিৰ্ণয়ৰ নীতি এই সাঁথৰবোৰৰ দৰে চলে।

যেনেকৈ দ্বীপটোত কেৱল সঁচা বা মিছা কোৱা মানুহহে আছে, তেনেকৈ কম্পিউটাৰে ১ বা ০ ব্যৱহাৰ কৰি সকলো জটিল সিদ্ধান্ত গঢ়ে।

এটা সামৰণি চিন্তা

সত্য কওঁতাহঁত আৰু মিছা কওঁতাহঁতৰ দ্বীপেৰে যাত্ৰা কৰা মানে মাত্ৰ সাঁথৰ সমাধান নহয়, ই আমাৰ চিন্তাধাৰাক প্রশিক্ষণ দিয়ে।

এইবোৰ সাঁথৰে শিকায়— কেতিয়াবা সঁচা আৰু মিছাৰ মাজৰ সূক্ষ্ম পাৰ্থক্য চিনাক্ত কৰিবলৈ যুক্তিবিদ্যা আৰু ধৈৰ্য দুয়োটাই প্ৰয়োজন। পাঠককো বুজাই দিয়ে— সকলো কথা মুখে মুখে গ্ৰহণ কৰিব নালাগে, কেতিয়াবা যুক্তিৰ পোহৰত পৰীক্ষা কৰিব লাগে। যুক্তিবিদ্যাতো প্ৰায়ে দেখা যায়, উত্থাপন কৰা সঠিক প্ৰশ্নটোহে উত্তৰটোতকৈও অধিক শক্তিশালী।

অধ্যায় ২৮: এবিধ নতুন ভগ্নাংশ

ঘৰৰ নম্বৰৰ সৈতে এবিধ আচহুৱা ভংগ্নাশৰ সংযোগ আৰু গণিতজ্ঞৰ চিন্তা-পদ্ধতি

ঘৰৰ নম্বৰৰ সমস্যা

দূৰণিবটীয়া এজন ব্যক্তিয়ে তেওঁৰ বন্ধু এজনক বিচাৰি বন্ধুজনৰ গাঁৱত প্ৰৱেশ কৰিলে। পথৰ এটা কাষত শাৰী শাৰীকৈ থকা ঘৰবোৰৰ মাজৰ এটা ঘৰ বন্ধুজনৰ। এক, দুই, তিনি, চাৰিকৈ প্ৰতিটো ঘৰত একাদিক্ৰমে নম্বৰ দি থোৱা আছে। বন্ধুজনৰ ঘৰটোৰ এফালৰ ঘৰবোৰৰ নম্বৰৰ যোগফলটো আনটো ফালৰ ঘৰবোৰৰ নম্বৰৰ যোগফলৰ সমান। তেন্তে, বন্ধুজনৰ ঘৰটোৰ নম্বৰ কিমান?

এটা সহজ উত্তৰ

ধৰা হওক, গাঁওখনৰ পথটোৰ সেইটো কাষত তেনেই কম সংখ্যক ঘৰ আছে। মাথোঁ আঠটা ঘৰ আছে। সেয়েহে, বন্ধুজনৰ ঘৰৰ নম্বৰটো হ’ল ৬। কাৰণ, ১+২+৩+৪+৫ = ৭+৮।

ৰামানুজন আৰু মহালানবিছৰ আড্ডা

কাহিনীটো আমি ধৰা মতে নহয়। দূৰণিবটীয়া ব্যক্তিজনে জানে যে পথৰ সেইটো কাষত ৫০ তকৈ অধিক আৰু ৫০০ তকৈ কম ঘৰ আছে।

তেন্তে, বন্ধুজনৰ ঘৰটোৰ নম্বৰ কিমান? নম্বৰটো দূৰণিবটীয়া ব্যক্তিজনে উলিয়াব পাৰিবনে?

ভাৰতীয় অসামান্য বৈজ্ঞানিক বা গাণিতিক প্ৰতিভাৰ এটা প্ৰতীক হৈছে শ্ৰীনিবাস ৰামানুজন। আৰু প্ৰশান্ত চন্দ্ৰ মহালানবিছ এগৰাকী অসাধাৰণ পৰিসংখ্যাবিদ আৰু ভাৰতীয় পৰিসাংখ্যিক প্ৰতিষ্ঠান (ISI) ৰ প্ৰতিস্থাপক। এওঁলোক দুয়োজনৰ এটা মিল হ’ল— প্ৰথমজনৰ জন্মদিনত আমাৰ দেশত ‘ৰাষ্ট্ৰীয় গণিত দিৱস’ পালন কৰা হয়, আৰু দ্বিতীয়জনৰ জন্মদিনত ‘ৰাষ্ট্ৰীয় পৰিসংখ্যা দিৱস’ পালন কৰা হয়।

ৰামানুজন যেতিয়া কেম্ব্ৰিজত আছিল, তেতিয়া কেম্ব্ৰিজৰে ছাত্ৰ মহালানবিছ গৈছিল ৰামানুজন থকা ঘৰটোলৈ। এখন আলোচনীত প্ৰতি মাহে পাঠকৰ বাবে আকৰ্ষণীয় প্ৰশ্ন আগবঢ়োৱা হৈছিল। সেইদিনা আলোচনীখনৰ শেহতীয়া সংখ্যাটো হাতত লৈ মহালানবিছে প্ৰশ্নটো চালে আৰু ৰামানুজনকো ক’লে। ৰামানুজন তেতিয়া কিবা ৰন্ধাৰ কামত ব্যস্ত।

আলোচনীখনৰ সেই সংখ্যাৰ প্ৰশ্নটো আছিল আমাৰ এই দূৰণিবটীয়া ব্যক্তিজনৰ সমস্যাটোৱেই। মাথোঁ তাত বৰ্ণনা কৰা ভাষা আৰু কাহিনী ওপৰত আমি কোৱাতকৈ অলপ সুকীয়া।

মহালানবিছে অলপ কাট-কুট কৰি উত্তৰটো উলিয়ালে। বন্ধুজনৰ ঘৰৰ নম্বৰ ২০৪, আৰু মুঠ ঘৰ ২৮৮ টা।

সিফালে ৰান্ধি থকা স্থানৰ পৰা ৰামানুজনেও উত্তৰটো উলিয়াই ক’লে যে— এই … ভগ্নাংশটো লিখক, ইয়াতে সমস্ত উত্তৰ সোমাই আছে।

প্ৰশ্নটোত, ঘৰৰ সংখ্যা ৫০ তকৈ অধিক আৰু ৫০০ তকৈ কম হোৱাৰ চৰ্তটো যদি দিয়া নাথাকে, তেন্তে উত্তৰ অগণন পোৱা যাব। ৰামানুজনে লগে লগেই গোটেই উত্তৰবোৰ বাহিৰ কৰিলে। যাৰ মাজতে মহালানবিছে কোৱা উত্তৰটোও তেনেই সহজেই সোমাই আছে।

মহালানবিছ আচৰিত হ’ল আৰু সুধিলে— এয়া কেনেকৈ সম্ভৱ হ’ল?

কি এই নতুন ভগ্নাংশ?

এটা ভগ্নাংশৰ হৰটোত যদি এটা ৰাশি থাকে, যিটো ৰাশিত এটা ভগ্নাংশ যোগ হৈ থাকে, তেন্তে তাক অবিৰত ভগ্নাংশ বুলি কোৱা হয়। সেই হৰত যুক্ত হৈ থকা ভগ্নাংশটোৰ হৰটোতো পুনৰ ভগ্নাংশ যুক্ত হৈ থাকিব পাৰে। এনেদৰে যদি ক্ৰমে ক্ৰমে ভগ্নাংশ যুক্ত হৈ অহৰহ গৈয়েই থাকে তেন্তে তাক অসীম অবিৰত ভগ্নাংশ বোলে আৰু এটা সময়ত ই অন্ত পৰিলে তাক সসীম অবিৰত ভগ্নাংশ বোলে।

মানুহে এইবিধ ভগ্নাংশৰ চৰ্চা আৰম্ভ কৰা কেইটামান শতিকাহে হৈছে। ইয়াৰ জৰিয়তে অপৰিমেয় সংখ্যাৰ পৰিমেয় আসন্নমান পাবলৈ বৰ ভাল। বৈদ্যুতিক নেটৱৰ্কত বৰ্তনীৰ নক্সা প্ৰস্তুত আৰু বিশ্লেষণ কৰোঁতেও ইয়াৰ প্ৰয়োগ ঘটে। অসীম অবিৰত ভগ্নাংশত $\sqrt{\text{২}}$ ক প্ৰকাশ কৰিব পাৰি এনেদৰে:

$\text{১}+\frac{\text{১}}{\text{২}+\frac{\text{১}}{\text{২}+\frac{\text{১}}{\text{২}+\frac{\text{১}}{\ddots}}}}$

সংক্ষেপে ইয়াক লিখা হয় এইদৰে:

$\sqrt{\text{২}}=[\text{১};\text{২},\text{২},\text{২},\ldots]$

এই অসীম অবিৰত ভগ্নাংশটো কোনোবা একোটা স্থানত স্তব্ধ কৰি সসীম অবিৰত ভগ্নাংশলৈ ৰূপান্তৰ কৰিলে $\sqrt{\text{২}}$ ৰ আসন্ন মান একোটা পোৱা যাব। আৰু সেই আসন্ন মানটো আমি এটা সৰল ভগ্নাংশ ৰূপত পাম।

নিখুঁত মধ্যমা

কোনো একোটা স্বাভাৱিক সংখ্যা $m$ ক প্ৰথম n টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ ‘নিখুঁত মধ্যমা’ বুলি কোৱা হয় যদিহে

$\text{১}+\text{২}+\cdots+(m-\text{১})=(m+\text{১})+(m+\text{১})+\cdots+n.$

অৰ্থাৎ, $m^\text{২}= \frac{n(n+\text{১})}{\text{২}}$ হ’ব লাগিব। ইয়াত দেখা গ’ল যে বাওঁপিনে আছে এটা বৰ্গ সংখ্যা আৰু সোঁপিনে আছে এটা ত্ৰিভুজীয় সংখ্যা। গণিতজ্ঞ অয়লাৰে (১৭০৭ – ১৭৮৩) সুকীয়াভাৱে, কোনবোৰ সংখ্যা একেলগে বৰ্গ সংখ্যাও হয় আৰু ত্ৰিভুজীয় সংখ্যাও হয়, সেই সম্পৰ্কে অধ্যয়ন কৰিছিল। তেওঁৰ পৰা প্ৰায় ১১০০ বছৰ পূৰ্বে ভাৰতীয় গণিতজ্ঞ ব্ৰহ্মগুপ্তই এবিধ সমীকৰণ কিছু অধ্যয়ন কৰিছিল, যাৰ আৰ্হিটো হৈছে $x^\text{২}-Ny^\text{২}=k.$ অয়লাৰে সেই কথা জনা নাছিল।

যদি, $m^\text{২}= \frac{n(n+\text{১})}{\text{২}}$ ক অলপ ভাঙি দিয়া হয়, তেন্তে পোৱা যায় যে $(\text{২}n+\text{১})^\text{২}-\text{৮}m^\text{২}=\text{১}$। তেতিয়া $\text{২}n+\text{১}=x$, আৰু $\text{২}m=y$ ধৰিলে ই হ’বগৈ $x^\text{২}-\text{২}y^\text{২}=\text{১}$। এইধৰণৰ সমীকৰণবোৰ আন কেইবাজনেও অধ্যয়ন কৰিছিল আৰু তেওঁলোকতকৈও বেলেগ এজনে সমাধান কৰা বুলিহে আয়লাৰে ভুলক্ৰমে উল্লেখ কৰিছিল।

যি কি নহওক, এই সমীকৰণটোৰ এটা সহজ সামাধান হ’ল (৩, ২)। আৰু সমীকৰণটোৰ পৰা আমি পাওঁ

$(x+\sqrt{\text{২}}y)(x-\sqrt{\text{২}}y)=\text{১}\text{।}$

গতিকে, $(\text{৩}+\text{২}\sqrt{\text{২}})(\text{৩}-\text{২}\sqrt{\text{২}})=\text{১}\text{।}$

বাওঁপিনৰ ৰাশি দুটাক পৃথকে পৃথকে বৰ্গ কৰিলে পাম $(\text{১৭}+\text{১২}\sqrt{\text{২}})(\text{১৭}-\text{১২}\sqrt{\text{২}})=\text{১}$, সেইদৰে ঘণফল ল’লে পাম $(\text{৯৯}+\text{৭০}\sqrt{\text{২}})(\text{৯৯}-\text{৭০}\sqrt{\text{২}})=\text{১}\text{।}$

অৰ্থাৎ, (১৭, ১২) আৰু (৯৯, ৭০) সমীকৰণটোৰ আন দুটা সমাধান। এইদৰে ঘাত বঢ়াই গৈ থাকিলে সমীকৰণটোৰ অসীম সংখ্যক সমাধান পোৱা যাব।

গতিকে, $(m,n)$ ৰ তিনিটা মান হ’ল (১, ১), (৬, ৮), (৩৫, ৪৯)। ইয়াৰ লগতে অসীম সংখ্যক $(m,n)$ পোৱা যাব।

আমি দেখিলোঁ যে, দূৰণিবটীয়া ব্যক্তিজনৰ সমস্যাটো নিখুঁত মধ্যমা নিৰ্ণয়ৰ সমস্যা, য’ত $m$ টো ৫০ তকৈ ডাঙৰ আৰু $n$ টো ৫০০ তকৈ সৰু। আমি এতিয়া $(\text{৩}+\text{২}\sqrt{\text{২}})(\text{৩}-\text{২}\sqrt{\text{২}})=\text{১}$ ক ওপৰত কৰা ধৰণে চতুৰ্থ ঘাতলৈ ফলাফল উলিয়ালে উত্তৰটো পাই যাম।

কিন্তু, ৰামানুজন মহালানবিছক এনেকৈ কোৱা নাছিল। তেওঁ দিছিল এটা অবিৰত ভগ্নাংশ।

ৰামানুজনৰ কৌশল

সমস্যাটোৰ জৰিয়তে আমি পোৱা সমীকৰণটো হ’লগৈ $x^\text{২}-\text{২}y^\text{২}=\text{১}$। যদি $x$ আৰু $y$ ৰ মান ডাঙৰ হয়, তেন্তে ১ টো নগণ্য হৈ পৰে। সেয়ে আমি আসন্নকৰণ কৰিব পাৰোঁ এইদৰে:

$\frac{y}{x}= \sqrt{\text{২}}\text{।}$

এতিয়া যদি আমি $\sqrt{\text{২}}$ ৰ অবিৰত ভগ্নাংশ ৰূপটোৰ পৰা পৰিমেয় আসন্নমানবোৰ লওঁ আৰু তাৰে যিবোৰ এই সমীকৰণটোৰ সৈতে মিলে, তেন্তে সেই গোটেইবোৰ পৰিমেয় আসন্নমানেই আমাক সমাধানবোৰ দিব।

গতিকে, ৰামানুজনে সেই অবিৰত ভগ্নাংশটো মহালানবিছক ক’লে। মাথোঁ কেইটামান সংখ্যাৰে প্ৰকাশ পৰিব পৰা এটা গাণিতিক ৰূপতে সমস্যাটোৰ অন্তৰ্নিহিত গোটেইবোৰ উত্তৰ — অসীম সংখ্যক উত্তৰ সোমাই আছিল। এইখিনিতে $(m,n)$ ৰ পৰৱৰ্তী দুটা উত্তৰ উল্লেখ কৰিলোঁ: (১১৮৯, ১৬৮১) আৰু (৬৯৩০, ৯৮০০)।

ৰামানুজনে এইটো অবিৰত ভগ্নাংশকে দিয়া বুলি কোনো লোকে ব্যাখ্যা কৰে। কিন্তু আন কোনো লোকে আনধৰণে ব্যাখ্যা কৰি বেলেগ এটা অবিৰত ভগ্নাংশৰ কথাহে কয়। সেয়া যি নহ’লেও, ৰামানুজনে তৎক্ষণাৎ সমস্যাটোৰ গভীৰলৈ গৈ বিশাল ৰূপৰ উত্তৰটো দিয়াটো সঁচাই আচৰিত লগা কথা। সেয়ে তেওঁ সেইদিনা লগতে কোৱা এষাৰ কথাও বহু চৰ্চিত।

ৰামানুজনে কৈছিল কি

মহালানবিছে যেতিয়া সুধিলে যে সেইটো কেনেকৈ সম্ভৱ হ’ল, তেতিয়া ৰামানুজনে কৈছিল— মই সমস্যাটো শুনাৰ লগে লগেই নিশ্চিত হৈ পৰিলোঁ যে সমাধানটো স্বাভাৱিকভাৱেই অবিৰত ভগ্নাংশই হ’ব; তেতিয়া মই ভাবিলোঁ, কোনটো অবিৰত ভগ্নাংশ? আৰু উত্তৰটো মোৰ মনলৈ আহি গ’ল।

ইয়াকে কোৱা হয়— গণিতজ্ঞসকলৰ চিন্তাৰ পদ্ধতি। তেওঁলোকে ক্ষুদ্ৰ সাঁথৰৰ আঁৰতো বিশালতাৰ সন্ধান কৰে। সামান্য এটা উত্তৰতে সীমাবদ্ধ নাথাকে। তেওঁলোকে লগত থকা গাণিতিক সঁজুলিবোৰেৰে ক্ৰিয়া কৰে সমস্যাটোত আৰু কেতিয়াবা উত্তৰবোৰ ওলায় আহে প্ৰথমে সম্পৰ্কহীন যেন লগা বস্তু কিছুমানৰ মাজৰ পৰা।

এটা সামৰণি চিন্তা

কিছুমান গাণিতিক বস্তু দেখিলে আখজা লাগিব পাৰে, কিন্তু বহুতো প্ৰশ্নৰ উত্তৰ পূৰ্বতে জনা গাণিতিক বস্তুবোৰেৰে দিয়াটো সম্ভৱ নহয়, অথচ সেই আখজা লগা বস্তুটোৱে বা বিষয়টোৱে সেই প্ৰশ্নবোৰৰ উত্তৰ তেনেই সাধাৰণ কৰি তোলে।

ই আমাক নতুন বিষয়বস্তু, নতুন কৌশল, নতুন গাণিতিক আহিলা আদি শিকাৰো শিক্ষা দিয়ে।